Considere a edo
y^prime prime+6 y^prime+9 y=e^-3 xx^5, x>0
Obtenha a solução geral da edo não-homogênea dada.

Passo 1

Estamos diante de uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes e termo não‐homogêneo, mais precisamente
y'' + 6y' + 9y = e^-3xx^5, x>0
O conteúdo principal é a resolução de equações lineares pelo método da soma da solução homogênea e de uma particular. Vamos precisar do método de variação de parâmetros para encontrar a parte particular.

Passo 2

A equação característica associada à parte homogênea
r^2 + 6r + 9 = 0
possui raiz dupla em r = -3. Logo, uma base de soluções homogêneas é
y1(x) = e^-3x,
y2(x) = x e^-3x,
e a solução geral da homogênea é
yh(x) = (C1 + C2 x)e^-3x

Passo 3

Para aplicar variação de parâmetros, calculamos o wronskiano de y1 e y2:
W = y1 y2' - y1' y2
Temos
y1' = -3e^-3x,
y2' = e^-3x - 3x e^-3x = e^-3x(1 - 3x)
Substituindo,
W = e^-3xcdot e^-3x(1 - 3x) - (-3e^-3x)cdot x e^-3x = e^-6x(1 - 3x + 3x) = e^-6x

Passo 4

As fórmulas de variação de parâmetros são
u1' = -f(x),y2W, nu2' = f(x),y1W,
onde f(x)=e^-3x/x^5. Logo,
u1' = -(e^-3x/x^5)cdot (x e^-3x)e^-6x = -x e^-6xx^5 e^-6x = -1x^4,
u2' = (e^-3x/x^5)cdot e^-3xe^-6x = e^-6xx^5 e^-6x = 1x^5

Passo 5

Integramos para obter nu1 e nu2:
nu1(x) = integral -1x^4,dx = 13x^3 + K1,
nu2(x) = integral 1x^5,dx = -14x^4 + K2
Como só precisamos de uma particular, podemos escolher constantes de integração K1=K2=0.

Passo 6

A solução particular é
yp = nu1 y1 + nu2 y2 = 13x^3e^-3x + l(-14x^4r)cdot (x e^-3x)
Simplificando,
yp = e^-3xl(13x^3 - 14x^3r) = 112,e^-3xx^3

Resposta

A solução geral é
y(x) = (C1 + C2 x)e^-3x + e^-3x12x^3, x>0

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