Considere a edo
y^prime prime+6 y^prime+9 y=e^-3 xx^5, x>0
Obtenha a solução geral da edo homogênea correspondente.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no exercício que você trouxe. A gente tem uma equação diferencial ordinária (EDO) do tipo homogênea:
y'' + 6y' + 9y = 0
Vamos resolver essa EDO para encontrar a solução geral. Para isso, vamos usar o método das equações características, que é um jeito bacana de resolver EDOs lineares com coeficientes constantes.

Passo 2

Primeiro, precisamos montar a equação característica da EDO. A equação diferencial que temos é:
y'' + 6y' + 9y = 0
Aqui, $ y’’ $ é a segunda derivada de $ y $ em relação a $ x $, $ y’ $ é a primeira derivada, e $ y $ é a função original. A equação característica corresponde a substituir $ y $ por $ e^{rx} $, onde $ r $ é uma constante que vamos determinar. Assim, a equação característica fica:
y''

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de $ r $. A equação é:
r
Podemos resolver isso usando a fórmula de Bhaskara:
r^2 + 6r + 9 = 0
Aqui, $ a = 1 $, $ b = 6 $ e $ c = 9 r = -b pm raizb^2 - 4ac2a \Delta $) primeiro:
a = 1

Passo 4

Como o discriminante é zero ($ \Delta = 0 $), isso significa que temos duas raízes reais e iguais. Vamos calcular $ r $:
De
Então, temos uma raiz dupla $ r = -3 $.

Passo 5

Quando a equação característica tem raízes reais e iguais, a solução geral da EDO homogênea é dada por:
y(x) = (C1 + C2 x) e^rx
Substituindo $ r = -3 $, a solução fica:
r = -3
Onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes que determinam as soluções específicas com base nas condições iniciais.

Resposta

A solução geral da EDO homogênea é:
y(x) = (C1 + C2 x) e^-3x

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