Considere a edo
Obtenha a solução geral da edo homogênea correspondente.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no exercício que você trouxe. A gente tem uma equação diferencial ordinária (EDO) do tipo homogênea:
Vamos resolver essa EDO para encontrar a solução geral. Para isso, vamos usar o método das equações características, que é um jeito bacana de resolver EDOs lineares com coeficientes constantes.
Passo 2
Primeiro, precisamos montar a equação característica da EDO. A equação diferencial que temos é:
Aqui, $ y’’ $ é a segunda derivada de $ y $ em relação a $ x $, $ y’ $ é a primeira derivada, e $ y $ é a função original. A equação característica corresponde a substituir $ y $ por $ e^{rx} $, onde $ r $ é uma constante que vamos determinar. Assim, a equação característica fica:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de $ r $. A equação é:
Podemos resolver isso usando a fórmula de Bhaskara:
Aqui, $ a = 1 $, $ b = 6 $ e $ c = 9
\Delta $) primeiro:
Passo 4
Como o discriminante é zero ($ \Delta = 0 $), isso significa que temos duas raízes reais e iguais. Vamos calcular $ r $:
Então, temos uma raiz dupla $ r = -3 $.
Passo 5
Quando a equação característica tem raízes reais e iguais, a solução geral da EDO homogênea é dada por:
Substituindo $ r = -3 $, a solução fica:
Onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes que determinam as soluções específicas com base nas condições iniciais.
Resposta
A solução geral da EDO homogênea é: