/2,5 4. Considere a edo
y^prime prime+6 y^prime+9 y=e^-3 xx^5, x>0
a) Obtenha a solução geral da edo homogênea correspondente.
b) Use o Método de Variação dos Parâmetros para obter uma solução particular da edo não-homogênea dada.
c) Obtenha a solução geral da edo não-homogênea dada.

Passo 1

Temos a equação diferencial
y'' + 6y' + 9y = e^-3xx^5, x>0
e precisamos:
– (a) achar a solução geral da homogênea associada;
– (b) usar variação de parâmetros para uma solução particular da não-homogênea;
– (c) montar a solução geral da não-homogênea.
O conteúdo é resolução de EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes e variação de parâmetros.

Passo 2

Para a homogênea consideramos
y'' + 6y' +9y = 0
A equação característica é
r^2 +6r +9 = 0 ;Longrightarrow; (r+3)^2 = 0,
logo há raiz dupla r=-3. Assim
yh = C1 e^-3x + C2,x e^-3x

Passo 3

No método de variação de parâmetros tomamos
y1 = e^-3x, y2 = x e^-3x.
O Wronskiano é
W = y1 & y2 [6pt] y1' & y2' = e^-3xl(e^-3x(1-3x)r) -(-3e^-3x)(x e^-3x) = e^-6x
As fórmulas dão
u1' = -y2,g(x)W, u2' = y1,g(x)W,
onde g(x)=e^-3x/x^5. Logo
u1' = -x e^-3x,e^-3xx^5e^-6x = -1x^4, u2' = e^-3x,e^-3xx^5e^-6x = 1x^5 ]

Passo 4

Integramos para obter u1 e u2:
u1 = integral -x^-4,dx = 13x^3, u2 = integral x^-5,dx = -14x^4
A solução particular é
yp = u1,y1 + u2,y2 = 13x^3e^-3x - 14x^4l(x e^-3xr) = e^-3x12,x^3

Passo 5

A solução geral da não-homogênea é
y = yh + yp = C1 e^-3x + C2,x e^-3x + e^-3x12,x^3

Resposta

y(x) = C1 e^-3x + C2,x e^-3x + e^-3x12,x^3

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