Considere a sequência (3^nn!)n in N. Em cada item, faça o que se pede.
(a) Mostre que a sequência é estritamente decrescente a partir do seu terceiro termo;
(b) Mostre que a sequência é limitada;
(c) A sequência é convergente? Justifique sua resposta. Se a resposta for positiva, determine o limite da sequência.

Passo 1

O enunciado apresenta a sequência
an = 3^nn!, ninN,
e pede três coisas:
(a) provar que an é estritamente decrescente a partir de n=3;
(b) mostrar que ela é limitada;
(c) verificar se converge e, em caso afirmativo, achar o seu limite.
Vamos usar aqui a ideia de razão de termos consecutivos para (a), observar positividade e decrescimento para (b) e aplicar o fato de que o fatorial cresce mais rápido que a potência para (c).

Passo 2

Para n>=3 comparamos an+1 com an. Note que
an+1an = 3^,n+1/(n+1)!3^n/n! = 3n+1
Quando n>=3 temos n+1>=4, logo
3n+1 <= 34 < 1
Isso implica an+1<an para todo n>=3, ou seja, a sequência é estritamente decrescente a partir do terceiro termo.

Passo 3

Cada termo an é positivo, pois 3^n>0 e n!>0. Além disso, como vimos, para n>=3 a sequência decresce e, portanto, fica sempre abaixo de a3. Logo ela é limitada superiormente por, por exemplo,
supn an = maxa1,a2,a3,
e limitada inferiormente por 0. Assim, 0 < an <= max3,,tfrac92,,tfrac276, mostrando que a sequência é limitada.

Passo 4

Para ver a convergência, basta observar que quando ntoinfty a razão
an+1an = 3n+1
tende a 0, o que força anto0. Intuitivamente, o fatorial n! cresce muito mais rápido que a potência 3^n, empurrando o quociente para zero. Portanto, a sequência converge e
limntoinfty an = 0

Resposta

(a) A razão tfracan+1an = tfrac3n+1 < 1 para todo n>=3, logo an é estritamente decrescente a partir de n=3.
(b) Como an>0 e decresce para valores abaixo de a3, a sequência é limitada (por 0 e por maxa1,a2,a3).
(c) Sim, ela converge; de fato
limntoinfty3^nn! = 0

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