Considere a sequência
. Em cada item, faça o que se pede.
(a) Mostre que a sequência é estritamente decrescente a partir do seu terceiro termo;
(b) Mostre que a sequência é limitada;
(c) A sequência é convergente? Justifique sua resposta. Se a resposta for positiva, determine o limite da sequência.
(a) Mostre que a sequência é estritamente decrescente a partir do seu terceiro termo;
(b) Mostre que a sequência é limitada;
(c) A sequência é convergente? Justifique sua resposta. Se a resposta for positiva, determine o limite da sequência.
Passo 1
O enunciado apresenta a sequência
e pede três coisas:
(a) provar que é estritamente decrescente a partir de
;
(b) mostrar que ela é limitada;
(c) verificar se converge e, em caso afirmativo, achar o seu limite.
Vamos usar aqui a ideia de razão de termos consecutivos para (a), observar positividade e decrescimento para (b) e aplicar o fato de que o fatorial cresce mais rápido que a potência para (c).
(a) provar que
(b) mostrar que ela é limitada;
(c) verificar se converge e, em caso afirmativo, achar o seu limite.
Vamos usar aqui a ideia de razão de termos consecutivos para (a), observar positividade e decrescimento para (b) e aplicar o fato de que o fatorial cresce mais rápido que a potência para (c).
Passo 2
Para
comparamos
com
. Note que
Quando
temos
, logo
Isso implica
para todo
, ou seja, a sequência é estritamente decrescente a partir do terceiro termo.
Passo 3
Cada termo
é positivo, pois
e
. Além disso, como vimos, para
a sequência decresce e, portanto, fica sempre abaixo de
. Logo ela é limitada superiormente por, por exemplo,
e limitada inferiormente por
. Assim,
, mostrando que a sequência é limitada.
Passo 4
Para ver a convergência, basta observar que quando
a razão
tende a 0, o que força
. Intuitivamente, o fatorial
cresce muito mais rápido que a potência
, empurrando o quociente para zero. Portanto, a sequência converge e
Resposta
(a) A razão
para todo
, logo
é estritamente decrescente a partir de
.
(b) Como e decresce para valores abaixo de
, a sequência é limitada (por
e por
).
(c) Sim, ela converge; de fato
(b) Como
(c) Sim, ela converge; de fato