Considere a EDO
, sendo
uma constante real.
Determine
para que a solução geral da EDO homogênea associada seja
.
Determine
Passo 1
O enunciado pede para encontrar o valor de c de modo que a equação diferencial linear homogênea associada a
y^{\prime\prime\prime} + c,y^{\prime} = 0 tenha solução geral y(x)=c_{1}+c_{2}\cos(2x)+c_{3}\sin(2x). O conteúdo é EDOs lineares de coeficientes constantes e raízes complexas do polinômio característico.
y^{\prime\prime\prime} + c,y^{\prime} = 0 tenha solução geral y(x)=c_{1}+c_{2}\cos(2x)+c_{3}\sin(2x). O conteúdo é EDOs lineares de coeficientes constantes e raízes complexas do polinômio característico.
Passo 2
Escrevemos a equação homogênea
O polinômio característico associado é
Passo 3
Fatorando o polinômio temos
Logo as raízes são r=0 e r=\pm i\sqrt{c}.
Passo 4
Para que a solução geral seja
c_{1} + c_{2}\cos(2x) + c_{3}\sin(2x),
precisamos que a parte imaginária seja 2, ou seja \sqrt{c}=2. Portanto
c_{1} + c_{2}\cos(2x) + c_{3}\sin(2x),
precisamos que a parte imaginária seja 2, ou seja \sqrt{c}=2. Portanto
Passo 5
final_answer