Considere a EDO y^prime prime prime+c y^prime=cos (2 x), sendo c uma constante real.
Determine c para que a solução geral da EDO homogênea associada seja y(x)=c1+c2 cos (2 x)+ c3 sen(2 x).

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o valor de c de modo que a equação diferencial linear homogênea associada a
y^{\prime\prime\prime} + c,y^{\prime} = 0 tenha solução geral y(x)=c_{1}+c_{2}\cos(2x)+c_{3}\sin(2x). O conteúdo é EDOs lineares de coeficientes constantes e raízes complexas do polinômio característico.

Passo 2

Escrevemos a equação homogênea
y^primeprimeprime + c,y^prime = 0
O polinômio característico associado é
r^3 + c,r = 0

Passo 3

Fatorando o polinômio temos
r,(r^2 + c) = 0
Logo as raízes são r=0 e r=\pm i\sqrt{c}.

Passo 4

Para que a solução geral seja
c_{1} + c_{2}\cos(2x) + c_{3}\sin(2x),
precisamos que a parte imaginária seja 2, ou seja \sqrt{c}=2. Portanto

Passo 5

final_answer

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