Esboce o gráfico da função F(x)=integral-infty^x f(t) d t, onde f(t)= 1t^2, & se |t| <= 1 1, & se |t|>1

Passo 1

O enunciado pede para desenhar a primitiva imprópria
F(x)=integral-infty^x f(t),dt de uma função por pedaços. O conteúdo é integral imprópria e integração de função definida por partes. Precisamos separar a análise nos intervalos onde f muda (ou seja, em t=-1 e t=1), verificar convergência em -infty e depois montar F(x) em cada parte.

Passo 2

Primeiro, determinamos o valor de F(x) para x< -1. Nesse intervalo, temos |t|>1 para todo t<= x< -1, então f(t)=1/t^2. A integral imprópria é
F(x)=integral-infty^x1t^2,dt =limAto-inftyintegralA^x t^-2,dt =limAto-inftyl[-tfrac1tr]A^x =-1x-l(-tfrac1Ar) =-1x
pois 1/Ato0.

Passo 3

Para -1<= x<=1, a integral se quebra em duas partes: de -infty até -1 (já calculada) e de -1 até x, onde |t|<=1 e, portanto, f(t)=1. Assim,
F(x)=F(-1)+integral-1^x 1,dt =1 + (x-(-1)) = x+2
já que F(-1)= -1/(-1)=1.

Passo 4

Para x>1, além das duas partes anteriores, temos de somar a porção de 1 até x em que f(t)=1/t^2 de novo. Então:
F(x)=F(1)+integral1^x t^-2,dt =3 + l[-tfrac1tr]1^x =3 +l(-tfrac1x+1r) =4 -1x
pois F(1)=1+(1+1)=3.

Passo 5

Com isso, o esboço do gráfico é uma curva suave e crescente, contínua em x=-1 e x=1, com comportamento assimptótico:
  • para xto-infty, F(x)to0 (pois -1/xto0);
  • para xto+infty, F(x)to4 (pois 4-1/xto4).

Resposta

F(x)= -dfrac1x,&x< -1, x+2,&-1<= x<=1, 4-dfrac1x,&x>1

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