Esboce o gráfico da função
, onde
Passo 1
O enunciado pede para desenhar a primitiva imprópria
de uma função por pedaços. O conteúdo é integral imprópria e integração de função definida por partes. Precisamos separar a análise nos intervalos onde
muda (ou seja, em
e
), verificar convergência em
e depois montar
em cada parte.
Passo 2
Primeiro, determinamos o valor de
para
. Nesse intervalo, temos
para todo
, então
. A integral imprópria é
pois
.
Passo 3
Para
, a integral se quebra em duas partes: de
até
(já calculada) e de
até
, onde
e, portanto,
. Assim,
já que
.
Passo 4
Para
, além das duas partes anteriores, temos de somar a porção de
até
em que
de novo. Então:
pois
.
Passo 5
Com isso, o esboço do gráfico é uma curva suave e crescente, contínua em
e
, com comportamento assimptótico:
- para
, (pois ); - para
, (pois ).