Considere a EDO
Determine a solução dessa EDO em série de potências e exiba um intervalo onde a solução é válida.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial ordinária (EDO) que é $ y’’ + x y’ + 2y = 0 $ com as condições iniciais $ y(0) = 4 $ e $ y’(0) = -1 $. O conteúdo que vamos usar aqui envolve séries de potências para encontrar a solução da EDO. Então, vamos precisar expandir a solução em série de potências e igualar os coeficientes para resolver os coeficientes desconhecidos.
Passo 2
Primeiro, assumimos que a solução $ y(x) $ pode ser escrita como uma série de potências centrada em 0:
Passo 3
Calculamos as derivadas de $ y(x) $:
Passo 4
Substituímos $ y(x) $, $ y’(x) $ e $ y’’(x) $ na EDO:
Passo 5
Ajustamos os índices das séries para termos com $ x^k $:
Para a primeira soma, deixamos $ k = n - 2 $:
Para a segunda soma, multiplicamos por $ x $ e deixamos $ k = n $:
A terceira soma já está com $ x^k $:
Passo 6
Agora, juntamos todas as somas:
Passo 7
Igualamos os coeficientes de cada potência de $ x^k $ a zero:
Simplificando:
Passo 8
Usamos as condições iniciais para encontrar $ a_0 $ e $ a_1 $:
Passo 9
Usando a relação de recorrência $ a_{k+2} = -\frac{1}{k+1} a_k $, encontramos os coeficientes seguintes:
Para $ k = 0 $:
Para $ k = 1 $:
Para $ k = 2 $:
E assim por diante…
Passo 10
Portanto, a solução em série é:
Passo 11
Para determinar o intervalo de validade da série, observamos que não há singularidades na equação diferencial fornecida. Portanto, a série de potências converge para todos os valores de $ x $, ou seja, o intervalo de validade é:
Resposta
A solução da EDO em série de potências é
e a série é válida para todos os números reais $ x $, com o intervalo de validade sendo $ (-\infty, \infty) $.