Considere a EDO
y^prime prime+x y^prime+2 y=0, y(0)=4, y^prime(0)=-1
Determine a solução dessa EDO em série de potências e exiba um intervalo onde a solução é válida.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial ordinária (EDO) que é $ y’’ + x y’ + 2y = 0 $ com as condições iniciais $ y(0) = 4 $ e $ y’(0) = -1 $. O conteúdo que vamos usar aqui envolve séries de potências para encontrar a solução da EDO. Então, vamos precisar expandir a solução em série de potências e igualar os coeficientes para resolver os coeficientes desconhecidos.

Passo 2

Primeiro, assumimos que a solução $ y(x) $ pode ser escrita como uma série de potências centrada em 0:
y(x)

Passo 3

Calculamos as derivadas de $ y(x) $:
y(x)
y'(x) = sumn=1^infty n an x^n-1

Passo 4

Substituímos $ y(x) $, $ y’(x) $ e $ y’’(x) $ na EDO:
y(x)

Passo 5

Ajustamos os índices das séries para termos com $ x^k $:
Para a primeira soma, deixamos $ k = n - 2 $:
x^k
Para a segunda soma, multiplicamos por $ x $ e deixamos $ k = n $:
k = n - 2 é
A terceira soma já está com $ x^k $:
sumk=0^infty (k+2)(k+1) ak+2 x^k

Passo 6

Agora, juntamos todas as somas:
sumk=0^infty [ (k+2)(k+1) ak+2 + k ak + 2 ak ] x^k = 0

Passo 7

Igualamos os coeficientes de cada potência de $ x^k $ a zero:
x^k
Simplificando:
(k+2)(k+1) ak+2 + (k + 2) ak = 0

Passo 8

Usamos as condições iniciais para encontrar $ a_0 $ e $ a_1 $:
a0
a1

Passo 9

Usando a relação de recorrência $ a_{k+2} = -\frac{1}{k+1} a_k $, encontramos os coeficientes seguintes:
Para $ k = 0 $:
ak+2 = -1k+1 ak
Para $ k = 1 $:
k = 0
Para $ k = 2 $:
a2 = -11 a0 = -4
E assim por diante…

Passo 10

Portanto, a solução em série é:
y(x) = 4 - x - 4x^2 + 12x^3 + 43x^4 - 14x^5 - dots

Passo 11

Para determinar o intervalo de validade da série, observamos que não há singularidades na equação diferencial fornecida. Portanto, a série de potências converge para todos os valores de $ x $, ou seja, o intervalo de validade é:
x

Resposta

A solução da EDO em série de potências é
y(x) = 4 - x - 4x^2 + 12x^3 + 43x^4 - 14x^5 - dots
e a série é válida para todos os números reais $ x $, com o intervalo de validade sendo $ (-\infty, \infty) $.

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