Encontre o conjunto solução da seguinte desigualdade.
Passo 1
Resumo do enunciado: a gente precisa achar todos os valores de x tais que |x+12x-1| <= 2. É uma desigualdade de valor absoluto envolvendo uma função racional, então vamos ter que cuidar do denominador (2x-1 neq 0) e do sinal da expressão antes de e depois de eliminar o módulo.
Passo 2
Eliminação do módulo: lembrando que |A| <= 2 é equivalente a -2 <= A <= 2. Aqui A = x+12x-1. Então obtemos o sistema
-2 <= x+12x-1 <= 2,
com a condição extra de domínio 2x-1 neq 0.
Passo 3
Resolvendo x+12x-1 <= 2: fazemos
x+12x-1 - 2 <= 0
x+1 - 2(2x-1)2x-1 <= 0
-3x +32x-1 <= 0
que é o mesmo que
x-12x-1 >= 0
Aqui temos zero em x=1 e assíntota em x=tfrac12.
Passo 4
Resolvendo x+12x-1 >= -2: fazemos
x+12x-1 + 2 >= 0
x+1 + 2(2x-1)2x-1 >= 0
5x -12x-1 >= 0
Aqui os pontos críticos são zero em x=tfrac15 e assíntota em x=tfrac12.
Passo 5
Interseção dos sinais: montamos o quadro de sinais para x-12x-1>=0 e 5x-12x-1>=0 nos intervalos determinados por x=tfrac15,,x=tfrac12,,x=1.
O único lugar onde as duas desigualdades são simultaneamente verdadeiras (e xneqtfrac12) é