Encontre o conjunto solução da seguinte desigualdade.

Passo 1

Resumo do enunciado: a gente precisa achar todos os valores de x tais que |x+12x-1| <= 2. É uma desigualdade de valor absoluto envolvendo uma função racional, então vamos ter que cuidar do denominador ( 2x-1 neq 0) e do sinal da expressão antes de e depois de eliminar o módulo.

Passo 2

Eliminação do módulo: lembrando que |A| <= 2 é equivalente a -2 <= A <= 2. Aqui A = x+12x-1. Então obtemos o sistema
-2 <= x+12x-1 <= 2,
com a condição extra de domínio 2x-1 neq 0.

Passo 3

Resolvendo x+12x-1 <= 2: fazemos
x+12x-1 - 2 <= 0
x+1 - 2(2x-1)2x-1 <= 0
-3x +32x-1 <= 0
que é o mesmo que
x-12x-1 >= 0
Aqui temos zero em x=1 e assíntota em x=tfrac12.

Passo 4

Resolvendo x+12x-1 >= -2: fazemos
x+12x-1 + 2 >= 0
x+1 + 2(2x-1)2x-1 >= 0
5x -12x-1 >= 0
Aqui os pontos críticos são zero em x=tfrac15 e assíntota em x=tfrac12.

Passo 5

Interseção dos sinais: montamos o quadro de sinais para
x-12x-1>=0 e 5x-12x-1>=0 nos intervalos determinados por
x=tfrac15,,x=tfrac12,,x=1.
O único lugar onde as duas desigualdades são simultaneamente verdadeiras (e xneqtfrac12) é

Resposta

(-∞, 1/5] ∪ [1, ∞)

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