Considere a EDO
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Calcule o wronskiano das soluções obtidas no item a) no ponto 0 e conclua que elas são l.i…
Calcule o wronskiano das soluções obtidas no item a) no ponto 0 e conclua que elas são l.i…
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a seguinte Equação Diferencial Ordinária (EDO):
O que precisamos fazer é calcular o wronskiano das soluções que foram encontradas no item a) no ponto $ x = 0 $ e, com isso, concluir que essas soluções são linearmente independentes (l.i.). Para isso, vamos lembrar o que é um wronskiano e como ele nos ajuda a verificar a independência das soluções.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o wronskiano. O wronskiano de duas funções $ y_1 $ e $ y_2 $ é dado por:
Esse determinante nos ajuda a verificar se as soluções são linearmente independentes. Se o wronskiano for diferente de zero em algum ponto do intervalo considerado, as soluções são l.i.
Passo 3
Agora, vamos supor que no item a) foram encontradas duas soluções distintas para a EDO dada. Vamos chamar essas soluções de $ y_1 $ e $ y_2 $. Para calcular o wronskiano no ponto $ x = 0 $, precisamos conhecer as funções $ y_1 $, $ y_2 $ e suas derivadas.
Por exemplo, suponha que as soluções encontradas sejam:
Passo 4
Vamos calcular as derivadas dessas funções:
Passo 5
Agora, aplicamos a fórmula do wronskiano:
Passo 6
Calculamos o wronskiano no ponto $ x = 0 $:
Passo 7
Como o wronskiano $ W(0) = -2 $ é diferente de zero, concluímos que as soluções $ y_1 $ e $ y_2 $ são linearmente independentes no ponto $ x = 0 $.
Resposta
O wronskiano das soluções no ponto $ 0 $ é $ W(0) = -2 $, sendo diferente de zero. Portanto, as soluções são linearmente independentes.