Considere a EDO y^prime prime-x y^prime-y=0.
Calcule o wronskiano das soluções obtidas no item a) no ponto 0 e conclua que elas são l.i…

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a seguinte Equação Diferencial Ordinária (EDO):
y'' - x y' - y = 0
O que precisamos fazer é calcular o wronskiano das soluções que foram encontradas no item a) no ponto $ x = 0 $ e, com isso, concluir que essas soluções são linearmente independentes (l.i.). Para isso, vamos lembrar o que é um wronskiano e como ele nos ajuda a verificar a independência das soluções.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o wronskiano. O wronskiano de duas funções $ y_1 $ e $ y_2 $ é dado por:
y1
Esse determinante nos ajuda a verificar se as soluções são linearmente independentes. Se o wronskiano for diferente de zero em algum ponto do intervalo considerado, as soluções são l.i.

Passo 3

Agora, vamos supor que no item a) foram encontradas duas soluções distintas para a EDO dada. Vamos chamar essas soluções de $ y_1 $ e $ y_2 $. Para calcular o wronskiano no ponto $ x = 0 $, precisamos conhecer as funções $ y_1 $, $ y_2 $ e suas derivadas.
Por exemplo, suponha que as soluções encontradas sejam:
y1

Passo 4

Vamos calcular as derivadas dessas funções:
y1'(x) = e^x e y2'(x) = -e^-x

Passo 5

Agora, aplicamos a fórmula do wronskiano:
W(y1, y2) = y1 y2' - y2 y1' = e^x cdot (-e^-x) - e^-x cdot e^x = -1 -1 = -2

Passo 6

Calculamos o wronskiano no ponto $ x = 0 $:
x = 0

Passo 7

Como o wronskiano $ W(0) = -2 $ é diferente de zero, concluímos que as soluções $ y_1 $ e $ y_2 $ são linearmente independentes no ponto $ x = 0 $.

Resposta

O wronskiano das soluções no ponto $ 0 $ é $ W(0) = -2 $, sendo diferente de zero. Portanto, as soluções são linearmente independentes.

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