Considere a superfície
obtida pela rotação, em torno do eixo
, do gráfico de uma função
, com derivada contínua e
. Sabendo que a área da superfície
é dada por
calcule a área das superfícies geradas pela rotação, em torno do eixo
, do gráfico das funções:
©
, com
. Resposta:
.
©
Passo 1
O enunciado pede a área da superfície obtida ao girar, em torno do eixo x, o gráfico de f(x)=cosh x para x∈[-1,1], usando a fórmula de área de revolução para f com derivada contínua: A=2π∫_a^b f(x)√{1+[f’(x)]^2} dx.
Passo 2
Primeiro calculamos a derivada de f. Como f(x)=cosh x, temos
Passo 3
Em seguida simplificamos o integrando usando a identidade hiperbólica 1+\sinh^2 x=\cosh^2 x. Assim,
Logo f(x)√{1+[f’(x)]^2}=cosh x·cosh x=cosh^2 x.
Passo 4
Logo a área torna-se
Passo 5
Para integrar cosh^2 x usamos a identidade
Substituindo,
Passo 6
Agora integramos termo a termo:
Logo
Passo 7
Por fim, escrevemos sinh(2) em termos de exponenciais: sinh(2)=(e{2}-e{-2})/2. Assim