Considere a superfície S obtida pela rotação, em torno do eixo x, do gráfico de uma função f, com derivada contínua e f(x) >= 0 em[a, b]. Sabendo que a área da superfície S é dada por
A=2 pi integrala^b f(x) raiz1+[f^prime(x)]^2 d x
calcule a área das superfícies geradas pela rotação, em torno do eixo x, do gráfico das funções:
© f(x)=cosh x, com -1 <= x <= 1. Resposta: pi2(e^2+4-e^-2).

Passo 1

O enunciado pede a área da superfície obtida ao girar, em torno do eixo x, o gráfico de f(x)=cosh x para x∈[-1,1], usando a fórmula de área de revolução para f com derivada contínua: A=2π∫_a^b f(x)√{1+[f’(x)]^2} dx.

Passo 2

Primeiro calculamos a derivada de f. Como f(x)=cosh x, temos
f'(x)=sinh x

Passo 3

Em seguida simplificamos o integrando usando a identidade hiperbólica 1+\sinh^2 x=\cosh^2 x. Assim,
raiz1+sinh^2 x=cosh x
Logo f(x)√{1+[f’(x)]^2}=cosh x·cosh x=cosh^2 x.

Passo 4

Logo a área torna-se
A=2piintegral-1^1cosh^2 x,dx

Passo 5

Para integrar cosh^2 x usamos a identidade
cosh^2 x=cosh(2x)+12
Substituindo,
A=2piintegral-1^1cosh(2x)+12,dx =piintegral-1^1(cosh(2x)+1),dx

Passo 6

Agora integramos termo a termo:
integral(cosh(2x)+1),dx=12sinh(2x)+x
Logo
A=pil[tfrac12sinh(2x)+xr]-1^1 =pil(sinh(2)+1 -(-sinh(2)/2 -1)r) =pi(sinh(2)+2)

Passo 7

Por fim, escrevemos sinh(2) em termos de exponenciais: sinh(2)=(e{2}-e{-2})/2. Assim
A=pil(e^2-e^-22+2r)=pi2(e^2+4-e^-2)

Resposta

pi2l(e^2+4-e^-2r)

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