Nos Problemas 9 a 12, encontre a solução do problema de valor inicial dado.
  1. y^prime+2 y=t e^2 t, y(1)=0

Passo 1

Na questão temos o IVP y'+2y=t e^2t, y(1)=0. O conteúdo é EDO linear de 1ª ordem e vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

Calculamos o fator integrante mu(t)=exp(integral 2,dt)=e^2t. Multiplicando a EDO por mu(t) obtemos
e^2ty'+2e^2ty=t e^4t,
o que é a derivada do produto e^2ty.

Passo 3

Reconhecendo que ddt(e^2ty)=t e^4t, integramos ambos os lados:
integral d(e^2ty)=integral t e^4t,dt.
Usando integração por partes, com u=t e dv=e^4tdt, achamos
integral t e^4tdt=t e^4t4-e^4t16+C
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e^2ty=t e^4t4-e^4t16+C

Passo 4

Dividindo por e^2t, temos
y=t e^2t4-e^2t16+C e^-2t
Aplicando y(1)=0:
$$
0=\frac{1\cdot e{2}}{4}-\frac{e{2}}{16}+C e^{-2}
=\frac{3e^{2}}{16}+C e^{-2}
$$
o que dá 0=1cdot e^24-e^216+C e^-2 =3e^216+C e^-2

Passo 5

Substituindo C, a solução final é
y(t)=t e^2t4-e^2t16-3e^416e^-2t

Resposta

y(t)=t e^2t4-e^2t16-3e^416e^-2t

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