Os Problemas 1 a 4 envolvem equações da forma dy/dt = f (y). Em cada problema, esboce o gráfico de f (y) em função de y, determine os pontos críticos (de equilíbrio) e classifique cada um como assintoticamente estável ou instável. Desenhe a reta de fase e esboce diversos gráficos de soluções no plano ty.
2)
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Passo 1
O enunciado pede para estudar a EDO autônoma
com condição inicial
. Vamos precisar do conceito de pontos de equilíbrio (onde
), de análise de sinais de
e de sua derivada
, além de montar a reta de fase e esboçar soluções no plano
.
Passo 2
Começo desenhando o gráfico de
. Primeiro noto as raízes em
. Em seguida faço o estudo de sinais: para
temos
, entre
dá
, entre
dá
e para
dá (+)(+)(+)=+. Com isso esboço qualitativamente um polinômio cúbico com essas mudanças de sinal.
Passo 3
Os pontos onde
são exatamente as raízes que encontramos:
Passo 4
Para classificar cada ponto, calculo a derivada
. Como $$f(y)=y3-3y2+2y,
$$ segue que
-
-
-
Passo 5
Com o estudo de sinais de
, monto a reta de fase (só para
, pois
):
- Em
temos → setas para cima. - Em
temos → setas para baixo. - Em
temos → setas para cima.
Nos pontosas setas se encontram ou se afastam conforme a estabilidade.
Passo 6
Por fim, esboço no plano
algumas soluções com
:
- Se
ou , a solução é constante nesses valores. - Se
, cresce monotonamente e tende a 1 quando . - Se
, decresce e tende a 1 quando . - Se
, cresce sem limite conforme .
Resposta
Equilíbrios: y=0 (inestável), y=1 (assintoticamente estável), y=2 (inestável).
Reta de fase para y≥0:
0 ——→ 1 ——← 2 ——→ ∞
0 ——→ 1 ——← 2 ——→ ∞
Soluções y(t):
- y₀=0,1,2 → solução constante.
- 0<y₀<1 → y(t) ↑ e tende a 1.
- 1<y₀<2 → y(t) ↓ e tende a 1.
- y₀>2 → y(t) ↑ para +∞.