Os Problemas 1 a 4 envolvem equações da forma dy/dt = f (y). Em cada problema, esboce o gráfico de f (y) em função de y, determine os pontos críticos (de equilíbrio) e classifique cada um como assintoticamente estável ou instável. Desenhe a reta de fase e esboce diversos gráficos de soluções no plano ty.
2) d yd t=y(y-1)(y-2), y0 >= 0

Passo 1

O enunciado pede para estudar a EDO autônoma dydt=y(y-1)(y-2) com condição inicial y0>=0. Vamos precisar do conceito de pontos de equilíbrio (onde f(y)=0), de análise de sinais de f(y) e de sua derivada f'(y), além de montar a reta de fase e esboçar soluções no plano ttimes y.

Passo 2

Começo desenhando o gráfico de f(y)=y(y-1)(y-2). Primeiro noto as raízes em y=0,1,2. Em seguida faço o estudo de sinais: para y<0 temos -)cdot(-)cdot(-)=(-), entre 0 +)(-)(-)=+, entre 1 +)(+)(-)=(-) e para y>2 dá (+)(+)(+)=+. Com isso esboço qualitativamente um polinômio cúbico com essas mudanças de sinal.

Passo 3

Os pontos onde f(y)=0 são exatamente as raízes que encontramos: y^*=0, y^*=1, y^*=2

Passo 4

Para classificar cada ponto, calculo a derivada f'(y). Como $$f(y)=y3-3y2+2y,
$$ segue que
f(y)=y^3-3y^2+2y, Avaliando em cada equilíbrio:
- f'(y)=3y^2-6y+2 → ponto inestável.
- y=0:;f'(0)=2>0 → ponto assintoticamente estável.
- y=1:;f'(1)=3-6+2=-1<0 → ponto inestável.

Passo 5

Com o estudo de sinais de f(y), monto a reta de fase (só para y>=0, pois y0>=0):
  • Em 0 temos f>0 → setas para cima.
  • Em 1 temos f<0 → setas para baixo.
  • Em y>2 temos f>0 → setas para cima.
    Nos pontos y=0,1,2 as setas se encontram ou se afastam conforme a estabilidade.

Passo 6

Por fim, esboço no plano ttimes y algumas soluções com y0>=0:
  • Se y0=0,1 ou 2, a solução é constante nesses valores.
  • Se 0, y(t) cresce monotonamente e tende a 1 quando tto+infty.
  • Se 1, y(t) decresce e tende a 1 quando tto+infty.
  • Se y0>2, y(t) cresce sem limite conforme tto+infty.

Resposta

Equilíbrios: y=0 (inestável), y=1 (assintoticamente estável), y=2 (inestável).
Reta de fase para y≥0:
0 ——→ 1 ——← 2 ——→ ∞
Soluções y(t):
  • y₀=0,1,2 → solução constante.
  • 0<y₀<1 → y(t) ↑ e tende a 1.
  • 1<y₀<2 → y(t) ↓ e tende a 1.
  • y₀>2 → y(t) ↑ para +∞.

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