Considere a EDO
(a) Determine
de modo que
seja uma solução para a EDO dada.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) do segundo grau:
O objetivo aqui é encontrar um valor real $ r $ tal que $ y_{1}(x) = e^{r x} $ seja uma solução dessa equação. Para isso, vamos precisar usar o método de substituição direta, onde substituímos $ y $ e suas derivadas na EDO e resolvemos para $ r $.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular as derivadas de $ y_{1}(x) = e^{r x} $.
A primeira derivada é:
E a segunda derivada é:
Passo 3
Agora, vamos substituir $ y_{1}(x) $, $ y_{1}^{\prime}(x) $ e $ y_{1}^{\prime \prime}(x) $ na EDO dada:
Substituindo:
Passo 4
Vamos simplificar a equação dividindo todos os termos por $ e^{r x} $ (que nunca é zero):
Passo 5
Agora, temos uma equação que envolve $ x $ e $ r $. Para que $ y_{1}(x) = e^{r x} $ seja uma solução válida para todo $ x > 0 $, os coeficientes que dependem de $ x $ devem se anular. Isso significa que os coeficientes de $ x $ e das constantes na equação devem ser zero separadamente.
Vamos reescrever a equação:
Multiplicando todos os termos por $ x $ para eliminar os denominadores:
Para que isso valha para todo $ x > 0 $, os coeficientes de $ x $ e os termos independentes devem ser iguais a zero:
- Coeficiente de $ x $:
- Termo constante:
Passo 6
Resolvendo as equações anteriores:
- Da primeira equação:
- Da segunda equação:
Confrontando os resultados, vemos que $ r = 2 $ satisfaz ambas as equações.
Resposta
O valor real $ r $ que faz $ y_{1}(x) = e^{2x} $ ser uma solução da EDO dada é $ r = 2 $.