Considere a EDO
y^prime prime-(2 x+1)x y^prime+2x y=0 x>0
(0,5) (a) Determine r in R de modo que y1(x)=e^r x seja uma solução para a EDO dada.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) do segundo grau:
y^prime prime - (2x + 1)x y^prime + 2x y = 0
O objetivo aqui é encontrar um valor real $ r $ tal que $ y_{1}(x) = e^{r x} $ seja uma solução dessa equação. Para isso, vamos precisar usar o método de substituição direta, onde substituímos $ y $ e suas derivadas na EDO e resolvemos para $ r $.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular as derivadas de $ y_{1}(x) = e^{r x} $.
A primeira derivada é:
y1(x) = e^r x
E a segunda derivada é:
y1^prime(x) = ddx e^r x = r e^r x

Passo 3

Agora, vamos substituir $ y_{1}(x) $, $ y_{1}^{\prime}(x) $ e $ y_{1}^{\prime \prime}(x) $ na EDO dada:
y1(x)
Substituindo:
y1^prime(x)

Passo 4

Vamos simplificar a equação dividindo todos os termos por $ e^{r x} $ (que nunca é zero):
e^r x

Passo 5

Agora, temos uma equação que envolve $ x $ e $ r $. Para que $ y_{1}(x) = e^{r x} $ seja uma solução válida para todo $ x > 0 $, os coeficientes que dependem de $ x $ devem se anular. Isso significa que os coeficientes de $ x $ e das constantes na equação devem ser zero separadamente.
Vamos reescrever a equação:
x
Multiplicando todos os termos por $ x $ para eliminar os denominadores:
r
Para que isso valha para todo $ x > 0 $, os coeficientes de $ x $ e os termos independentes devem ser iguais a zero:
  1. Coeficiente de $ x $:
y1(x) = e^r x
  1. Termo constante:
x > 0

Passo 6

Resolvendo as equações anteriores:
  1. Da primeira equação:
r (r - 2) = 0 Rightarrow r = 0 ou r = 2
  1. Da segunda equação:
r = 2
Confrontando os resultados, vemos que $ r = 2 $ satisfaz ambas as equações.

Resposta

O valor real $ r $ que faz $ y_{1}(x) = e^{2x} $ ser uma solução da EDO dada é $ r = 2 $.

Exercícios relacionados