Considere a reta tangente ao gráfico da função
no ponto
. Escrevendo a equação dessa reta tangente na forma
, determine o valor de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos que encontrar a equação da reta tangente ao gráfico da função $ f(x) = \frac{5x^{2} + 5}{2x + 4} $ no ponto $ (3, 5) $. O conteúdo que vamos usar aqui é o de derivadas para encontrar a inclinação da reta tangente. Precisamos calcular a derivada de $ f(x) $, avaliar essa derivada em $ x = 3 $ para achar o coeficiente $ a $ da reta, e depois determinar o $ b $ usando o ponto dado. No final, vamos calcular $ 2a + 7b $.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada da função $ f(x) = \frac{5x^{2} + 5}{2x + 4} $. Para isso, usamos a regra do quociente, que é dada por:
Aqui, derivamos o numerador e o denominador separadamente e aplicamos a fórmula.
Passo 3
Vamos simplificar a expressão da derivada:
Então, a derivada simplificada é:
Passo 4
Agora, vamos avaliar a derivada em $ x = 3 $ para encontrar a inclinação $ a $ da reta tangente:
Portanto, $ a = 2 $.
Passo 5
Sabemos que a reta tangente passa pelo ponto $ (3, 5) $ e tem a forma $ y = ax + b $. Já temos $ a = 2 $, então vamos substituir na equação:
Assim, $ b = -1 $.
Passo 6
Agora, basta calcular $ 2a + 7b $: