Considere a reta tangente ao gráfico da função f(x)=5 x^2+52 x+4 no ponto (3,5). Escrevendo a equação dessa reta tangente na forma y=a x+b, determine o valor de 2 a+7 b.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que encontrar a equação da reta tangente ao gráfico da função $ f(x) = \frac{5x^{2} + 5}{2x + 4} $ no ponto $ (3, 5) $. O conteúdo que vamos usar aqui é o de derivadas para encontrar a inclinação da reta tangente. Precisamos calcular a derivada de $ f(x) $, avaliar essa derivada em $ x = 3 $ para achar o coeficiente $ a $ da reta, e depois determinar o $ b $ usando o ponto dado. No final, vamos calcular $ 2a + 7b $.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada da função $ f(x) = \frac{5x^{2} + 5}{2x + 4} $. Para isso, usamos a regra do quociente, que é dada por:
f(x) = 5x^2 + 52x + 4
Aqui, derivamos o numerador e o denominador separadamente e aplicamos a fórmula.

Passo 3

Vamos simplificar a expressão da derivada:
f'(x) = (2x + 4)(10x) - (5x^2 + 5)(2)(2x + 4)^2 = 20x^2 + 40x - 10x^2 - 10(2x + 4)^2 = 10x^2 + 40x - 10(2x + 4)^2
Então, a derivada simplificada é:
f'(x) = 10x^2 + 40x - 10(2x + 4)^2

Passo 4

Agora, vamos avaliar a derivada em $ x = 3 $ para encontrar a inclinação $ a $ da reta tangente:
x = 3
Portanto, $ a = 2 $.

Passo 5

Sabemos que a reta tangente passa pelo ponto $ (3, 5) $ e tem a forma $ y = ax + b $. Já temos $ a = 2 $, então vamos substituir na equação:
(3, 5)
Assim, $ b = -1 $.

Passo 6

Agora, basta calcular $ 2a + 7b $:
2a + 7b

Resposta

-3

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