Encontre a solução geral da EDO
y^prime prime(t)+y^prime(t)+y(t)=e^3 t

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial que você me enviou:
y''(t) + y'(t) + y(t) = e^3 t
Essa é uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) linear de segunda ordem com termo não homogêneo. Para resolver, vamos precisar trabalhar com a solução da equação homogênea associada e encontrar uma solução particular. Vamos nessa!

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, ou seja, sem o termo à direita:
y''(t) + y'(t) + y(t) = 0
Para resolver isso, usamos a equação característica. Supomos uma solução da forma y(t) = e^r t e substituímos na equação:
r^2 e^r t + r e^r t + e^r t = 0 implies r^2 + r + 1 = 0

Passo 3

Agora, resolvemos a equação característica:
r^2 + r + 1 = 0
Usando a fórmula de Bhaskara:
r = -b pm raizb^2 - 4ac2a = -1 pm raiz1 - 42 = -1 pm iraiz32
Os valores de r são complexos: r = -12 pm raiz32i.

Passo 4

Com raízes complexas, a solução geral da equação homogênea é:
yh(t) = e^-12 t ( C1 cos(raiz32 t) + C2 sin(raiz32 t) ),
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

Passo 5

Agora, precisamos encontrar uma solução particular ( yp(t)) para a equação completa:
y''(t) + y'(t) + y(t) = e^3 t
Como o termo à direita é e^3 t, vamos tentar uma solução particular da forma:
yp(t) = A e^3 t,
onde A é uma constante a ser determinada.

Passo 6

Calculamos as derivadas de yp(t):
yp'(t) = 3 A e^3 t,
yp''(t) = 9 A e^3 t
Substituindo na equação:
9 A e^3 t + 3 A e^3 t + A e^3 t = e^3 t
Simplificando:
(9 A + 3 A + A) e^3 t = 13 A e^3 t = e^3 t

Passo 7

Igualando os coeficientes:
13 A = 1 implies A = 113
Portanto, a solução particular é:
yp(t) = 113 e^3 t

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y(t) = e^-12 t ( C1 cos(raiz32 t) + C2 sin(raiz32 t) ) + 113 e^3 t,
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

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