Encontre a solução geral da EDO
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial que você me enviou:
Essa é uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) linear de segunda ordem com termo não homogêneo. Para resolver, vamos precisar trabalhar com a solução da equação homogênea associada e encontrar uma solução particular. Vamos nessa!
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, ou seja, sem o termo à direita:
Para resolver isso, usamos a equação característica. Supomos uma solução da forma
e substituímos na equação:
Passo 3
Agora, resolvemos a equação característica:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Os valores de
são complexos:
.
Passo 4
Com raízes complexas, a solução geral da equação homogênea é:
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 5
Agora, precisamos encontrar uma solução particular (
) para a equação completa:
Como o termo à direita é
, vamos tentar uma solução particular da forma:
onde
é uma constante a ser determinada.
Passo 6
Calculamos as derivadas de
:
Substituindo na equação:
Simplificando:
Passo 7
Igualando os coeficientes:
Portanto, a solução particular é:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
e
são constantes arbitrárias.