Encontre a solução para a EDO
satisfazendo
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente recebeu uma equação diferencial de segunda ordem:
com as condições iniciais
e
. O conteúdo que vamos usar aqui é Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs), especificamente as de coeficientes constantes. Para resolver essa equação, vamos precisar encontrar a solução geral da EDO e depois aplicar as condições iniciais para determinar as constantes.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação característica associada à EDO. Para uma equação diferencial da forma:
a equação característica é:
No nosso caso,
e
, então a equação característica fica:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar as raízes
. Usamos a fórmula de Bhaskara:
Aqui,
,
, e
, então:
As raízes são complexas:
.
Passo 4
Quando a equação característica tem raízes complexas da forma
, a solução geral da EDO é:
No nosso caso,
e
, então:
Passo 5
Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar os valores de
e
. Primeiro, usamos
:
Passo 6
Em seguida, vamos calcular a derivada de
para aplicar a segunda condição inicial
. Primeiro, derivamos
:
Usando a regra do produto, temos:
Passo 7
Agora, aplicamos
:
Substituindo
:
Resposta
A solução da EDO que satisfaz as condições iniciais é: