Encontre a solução para a EDO
y^prime prime(t)+y^prime(t)+y(t)=0
satisfazendo y(0)=1 e y^prime(0)=0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente recebeu uma equação diferencial de segunda ordem:
y''(t) + y'(t) + y(t) = 0
com as condições iniciais y(0) = 1 e y'(0) = 0. O conteúdo que vamos usar aqui é Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs), especificamente as de coeficientes constantes. Para resolver essa equação, vamos precisar encontrar a solução geral da EDO e depois aplicar as condições iniciais para determinar as constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação característica associada à EDO. Para uma equação diferencial da forma:
y'' + a y' + b y = 0
a equação característica é:
r^2 + a r + b = 0
No nosso caso, a = 1 e b = 1, então a equação característica fica:
r^2 + r + 1 = 0

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar as raízes r. Usamos a fórmula de Bhaskara:
r = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Aqui, a = 1, b = 1, e c = 1, então:
r = -1 pm raiz1 - 42 = -1 pm raiz-32 = -1 pm iraiz32
As raízes são complexas: r = -12 pm iraiz32.

Passo 4

Quando a equação característica tem raízes complexas da forma r = alpha pm ibeta, a solução geral da EDO é:
y(t) = e^alpha t ( C1 cos(beta t) + C2 sin(beta t) )
No nosso caso, alpha = -12 e beta = raiz32, então:
y(t) = e^-t2 ( C1 cos(raiz32 t) + C2 sin(raiz32 t) )

Passo 5

Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar os valores de C1 e C2. Primeiro, usamos y(0) = 1:
y(0) = e^0 ( C1 cos(0) + C2 sin(0) ) = C1 = 1

Passo 6

Em seguida, vamos calcular a derivada de y(t) para aplicar a segunda condição inicial y'(0) = 0. Primeiro, derivamos y(t):
y'(t) = ddt [ e^-t2 ( C1 cos(raiz32 t) + C2 sin(raiz32 t) ) ]
Usando a regra do produto, temos:
y'(t) = -12 e^-t2 ( C1 cos(raiz32 t) + C2 sin(raiz32 t) ) + e^-t2 ( -C1 raiz32 sin(raiz32 t) + C2 raiz32 cos(raiz32 t) )

Passo 7

Agora, aplicamos y'(0) = 0:
y'(0) = -12 ( C1 cos(0) + C2 sin(0) ) + ( -C1 raiz32 sin(0) + C2 raiz32 cos(0) ) = -12 C1 + raiz32 C2 = 0
Substituindo C1 = 1:
-12 (1) + raiz32 C2 = 0 implies raiz32 C2 = 12 implies C2 = 1raiz3

Resposta

A solução da EDO que satisfaz as condições iniciais é:
y(t) = e^-t2 ( cos(raiz32 t) + 1raiz3 sin(raiz32 t) )

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