Considere a EDO:
a) Encontre a solução geral.
b) Encontre a solução que satisfaz
.
b) Encontre a solução que satisfaz
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial ordinária linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes:
Pede-se:
- (a) encontrar a solução geral dessa EDO;
- (b) encontrar a solução que satisfaz as condições iniciais
e .
Informações relevantes dadas: a EDO é linear, homogênea e de coeficientes constantes; não há termos independentes (lado direito é zero). A resolução começará encontrando as soluções básicas (funções exponenciais) associadas às raízes da equação característica, e depois serão aplicadas as condições iniciais para obter a solução particular.
Passo 2
Idéia do método (passo-a-passo didático): para EDOs lineares homogêneas com coeficientes constantes é padrão buscar soluções da forma
pois ao substituir nessa forma a EDO vira uma equação algébrica para
(a chamada equação característica). Vou mostrar isso claramente.
Substituindo
na EDO, temos:
Colocando esses em
e dividindo por
(que nunca é zero), obtemos a equação característica:
Passo 3
Resolver a equação característica:
Essa é uma quadrática. Podemos fatorar ou usar a fórmula de Bhaskara. Note que
e
, então é um quadrado perfeito:
Logo a raiz é
com multiplicidade
(raiz dupla).
Passo 4
Quando a equação característica tem duas raízes distintas
e
, as soluções independentes são
e
e a solução geral é combinação linear dessas. No caso de raiz dupla
(multiplicidade 2), uma solução é
e outra solução independente é
. Portanto, para raiz dupla
a solução geral é da forma
onde
e
são constantes arbitrárias.
Breve justificativa (didática e curta) de por que aparece o fator
: escrevendo o operador diferencial
, a EDO é
. Primeiro resolvendo
dá
. Agora resolver
é uma equação linear de primeira ordem
; multiplicando por
e integrando obtém-se
, ou seja
. Isso mostra porque a segunda solução tem fator
.
Passo 5
Agora aplico as condições iniciais para determinar
e
.
Primeiro escrevo
e
explicitamente:
Derivando (uso a regra do produto): a derivada de
é
e a derivada de
é
. Assim
Agora aplico as condições em
.
Usando
:
Usando
:
Substituindo
na última equação:
Passo 6
Portanto as constantes são
e
. A solução particular que satisfaz as condições iniciais é
Posso checar rapidamente:
e, conforme cálculo anterior,
, portanto está consistente.
Resposta
(a)
(b)
(b)