Considere a EDO:
y^{\prime \prime}-6 y^{\prime}+9 y=0
a) Encontre a solução geral.
b) Encontre a solução que satisfaz y(0)=2, y^{\prime}(0)=3.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial ordinária linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes:
y^{\prime\prime}-6y^{\prime}+9y=0.
Pede-se:
  • (a) encontrar a solução geral dessa EDO;
  • (b) encontrar a solução que satisfaz as condições iniciais \,y(0)=2 e \,y^{\prime}(0)=3.
Informações relevantes dadas: a EDO é linear, homogênea e de coeficientes constantes; não há termos independentes (lado direito é zero). A resolução começará encontrando as soluções básicas (funções exponenciais) associadas às raízes da equação característica, e depois serão aplicadas as condições iniciais para obter a solução particular.

Passo 2

Idéia do método (passo-a-passo didático): para EDOs lineares homogêneas com coeficientes constantes é padrão buscar soluções da forma
y(x)=e^{r x},
pois ao substituir nessa forma a EDO vira uma equação algébrica para r (a chamada equação característica). Vou mostrar isso claramente.
Substituindo y=e^{r x} na EDO, temos:
y^{\prime}=r e^{r x},\qquad y^{\prime\prime}=r^{2}e^{r x}.
Colocando esses em \,y^{\prime\prime}-6y^{\prime}+9y=0 e dividindo por e^{r x} (que nunca é zero), obtemos a equação característica:
r^{2}-6r+9=0.

Passo 3

Resolver a equação característica:
r^{2}-6r+9=0.
Essa é uma quadrática. Podemos fatorar ou usar a fórmula de Bhaskara. Note que 9=3^{2} e -6 = -2\cdot3, então é um quadrado perfeito:
r^{2}-6r+9=(r-3)^{2}=0.
Logo a raiz é r=3 com multiplicidade 2 (raiz dupla).

Passo 4

Quando a equação característica tem duas raízes distintas r_{1} e r_{2}, as soluções independentes são e^{r_{1}x} e e^{r_{2}x} e a solução geral é combinação linear dessas. No caso de raiz dupla r (multiplicidade 2), uma solução é e^{r x} e outra solução independente é x e^{r x}. Portanto, para raiz dupla r=3 a solução geral é da forma
y(x)=\big(C_{1}+C_{2}x\big)e^{3x},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias.
Breve justificativa (didática e curta) de por que aparece o fator x: escrevendo o operador diferencial D=\tfrac{d}{dx}, a EDO é (D-3)^{2}y=0. Primeiro resolvendo (D-3)z=0 z=C_{1}e^{3x}. Agora resolver (D-3)y=z é uma equação linear de primeira ordem y'-3y=C_{1}e^{3x}; multiplicando por e^{-3x} e integrando obtém-se y e^{-3x}=C_{1}x+C_{2}, ou seja y=(C_{1}x+C_{2})e^{3x}. Isso mostra porque a segunda solução tem fator x.

Passo 5

Agora aplico as condições iniciais para determinar C_{1} e C_{2}.
Primeiro escrevo y e y^{\prime} explicitamente:
y(x)=\big(C_{1}+C_{2}x\big)e^{3x}.
Derivando (uso a regra do produto): a derivada de (C_{1}+C_{2}x) é C_{2} e a derivada de e^{3x} é 3e^{3x}. Assim
y^{\prime}(x)=C_{2}e^{3x}+3\big(C_{1}+C_{2}x\big)e^{3x}=\big(3C_{1}+C_{2}+3C_{2}x\big)e^{3x}.
Agora aplico as condições em x=0.
Usando \,y(0)=2:
y(0)=\big(C_{1}+C_{2}\cdot 0\big)e^{0}=C_{1}=2.
Usando \,y^{\prime}(0)=3:
y^{\prime}(0)=\big(3C_{1}+C_{2}+3C_{2}\cdot 0\big)e^{0}=3C_{1}+C_{2}=3.
Substituindo C_{1}=2 na última equação:
3\cdot 2 + C_{2}=3 \quad\Rightarrow\quad 6 + C_{2}=3 \quad\Rightarrow\quad C_{2}=-3.

Passo 6

Portanto as constantes são C_{1}=2 e C_{2}=-3. A solução particular que satisfaz as condições iniciais é
y(x)=\big(2-3x\big)e^{3x}.
Posso checar rapidamente: y(0)=(2-0)\cdot1=2 e, conforme cálculo anterior, y'(0)=3, portanto está consistente.

Resposta

(a) \displaystyle y(x)=\big(C_{1}+C_{2}x\big)e^{3x}
(b) \displaystyle y(x)=\big(2-3x\big)e^{3x}

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