Considere a EDO
.
Obtenha a sua solução geral quando
.
Obtenha a sua solução geral quando
Passo 1
Beleza! Vamos resolver a equação diferencial $ y’’’ - y’’ + y’ - y = 0 $. A matéria que vamos usar aqui é sobre Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs) Lineares de Equação Homogênea. Para isso, precisamos encontrar a solução geral dessa EDO homogênea. Vamos em frente!
Passo 2
Primeiro, vamos montar a equação característica. Isso significa substituir as derivadas por potências de uma variável imaginária, geralmente representada por $ r $. Então, substituímos:
Nossa EDO fica assim:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação cúbica: $ r^3 - r^2 + r - 1 = 0 $. Para encontrar os valores de $ r $, podemos tentar encontrar raízes racionais usando o Teorema das Raízes Racionais. Testando, vemos que $ r = 1 $ é uma raiz, porque:
Passo 4
Sabendo que $ r = 1 $ é uma raiz, podemos fatorar a equação cúbica dividindo por $ (r - 1) $:
Agora, temos dois fatores: $ r - 1 $ e $ r^2 + 1 $.
Passo 5
Vamos encontrar as raízes dos fatores:
- $ r - 1 = 0 $ dá $ r = 1 $.
- $ r^2 + 1 = 0 $ dá $ r = \pm i $ (onde $ i $ é a unidade imaginária).
Então, temos as raízes $ r = 1 $, $ r = i $ e $ r = -i $.
Passo 6
Agora, usamos essas raízes para construir a solução geral. Cada raiz contribui com uma parte da solução:
- Para $ r = 1 $: $ e^{1x} = e^{x} $.
- Para $ r = i $ e $ r = -i $: como são complexas, a solução é combinada em funções trigonométricas:
Resposta
A solução geral da EDO é:
Onde $ C_1 $, $ C_2 $ e $ C_3 $ são constantes arbitrárias.