Considere a EDO y^prime prime prime-y^prime prime+y^prime-y=G(x).
Obtenha a sua solução geral quando G(x)=0.

Passo 1

Beleza! Vamos resolver a equação diferencial $ y’’’ - y’’ + y’ - y = 0 $. A matéria que vamos usar aqui é sobre Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs) Lineares de Equação Homogênea. Para isso, precisamos encontrar a solução geral dessa EDO homogênea. Vamos em frente!

Passo 2

Primeiro, vamos montar a equação característica. Isso significa substituir as derivadas por potências de uma variável imaginária, geralmente representada por $ r $. Então, substituímos:
r
Nossa EDO fica assim:
y''' r^3, y'' r^2, y' r, y 1

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação cúbica: $ r^3 - r^2 + r - 1 = 0 $. Para encontrar os valores de $ r $, podemos tentar encontrar raízes racionais usando o Teorema das Raízes Racionais. Testando, vemos que $ r = 1 $ é uma raiz, porque:
r^3 - r^2 + r - 1 = 0

Passo 4

Sabendo que $ r = 1 $ é uma raiz, podemos fatorar a equação cúbica dividindo por $ (r - 1) $:
r = 1
Agora, temos dois fatores: $ r - 1 $ e $ r^2 + 1 $.

Passo 5

Vamos encontrar as raízes dos fatores:
  1. $ r - 1 = 0 $ dá $ r = 1 $.
  2. $ r^2 + 1 = 0 $ dá $ r = \pm i $ (onde $ i $ é a unidade imaginária).
Então, temos as raízes $ r = 1 $, $ r = i $ e $ r = -i $.

Passo 6

Agora, usamos essas raízes para construir a solução geral. Cada raiz contribui com uma parte da solução:
  • Para $ r = 1 $: $ e^{1x} = e^{x} $.
  • Para $ r = i $ e $ r = -i $: como são complexas, a solução é combinada em funções trigonométricas:
r = 1

Resposta

A solução geral da EDO é:
y(x) = C1 e^x + C2 cos(x) + C3 sin(x)
Onde $ C_1 $, $ C_2 $ e $ C_3 $ são constantes arbitrárias.

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