Considere a EDO y^prime prime+x y^prime+2 y=0.
Obtenha duas soluções em séries de potências em torno do ponto 0 para a EDO, uma apenas com potências pares e outra apenas com potências ímpares. (Você deve deduzir a expressão dos coeficientes a partir das equações de recorrência)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para resolver uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) do tipo $ y’’ + x y’ + 2y = 0 $ usando séries de potências centradas no ponto 0. Especificamente, precisamos encontrar duas soluções: uma que envolva apenas potências pares de $ x $ e outra que envolva apenas potências ímpares. Para isso, vamos utilizar o método de séries de potências, que é uma técnica útil quando não conseguimos resolver a EDO de forma simples.

Passo 2

Primeiro, vamos supor que a solução $ y(x) $ pode ser expressa como uma série de potências em torno de $ x = 0 $. Ou seja:
y(x)
Aqui, $ a_n $ são os coeficientes que precisamos determinar.

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas de $ y(x) $:
Primeira derivada:
y(x)
Segunda derivada:
y'(x) = sumn=1^infty n an x^n-1

Passo 4

Substituindo $ y(x) $, $ y’(x) $ e $ y’’(x) $ na EDO original:
y(x)

Passo 5

Vamos ajustar os índices das somas para que todas comecem em $ n = 0 $. Para o primeiro termo:
n = 0
Para o segundo termo:
sumn=2^infty n (n-1) an x^n-2 = sumn=0^infty (n+2)(n+1) an+2 x^n
O terceiro termo já está com índice começando em 0.
Então, nossa equação fica:
x sumn=1^infty n an x^n-1 = sumn=1^infty n an x^n = sumn=0^infty (n) an x^n (com a0 = 0)

Passo 6

Agora, combinamos as somas:
sumn=0^infty [ (n+2)(n+1) an+2 + n an + 2 an ] x^n = 0
Para que essa equação seja verdadeira para todo $ x $, o coeficiente de cada potência de $ x^n $ deve ser zero:
x

Passo 7

Vamos simplificar a equação de recorrência:
an+2 = -n + 2(n+2)(n+1) an = -1n+1 an
Essa relação nos permite expressar $ a_{n+2} $ em termos de $ a_n $.

Passo 8

Agora, precisamos considerar duas possibilidades para atender ao requisito do exercício:
  1. Solução com potências pares:
    Vamos assumir que apenas os coeficientes com índices pares são diferentes de zero, ou seja, $ a_{2k+1} = 0 $ para todo $ k $. Começamos com $ a_0 $ livre (não nulo) e $ a_1 = 0 $.
  2. Solução com potências ímpares:
    Aqui, apenas os coeficientes com índices ímpares são diferentes de zero, ou seja, $ a_{2k} = 0 $ para todo $ k $. Começamos com $ a_1 $ livre e $ a_0 = 0 $.

Passo 9

1. Solução com potências pares ($ a_{2k+1} = 0 $):
Vamos definir $ n = 2k $, onde $ k $ é inteiro não negativo.
A relação de recorrência fica:
a2k+1 = 0
Começando com $ a_0 $, podemos calcular os coeficientes:
n = 2k
k
a2k+2 = -12k+1 a2k
a0
Portanto, a solução com potências pares é:
a2 = -11 a0 = -a0
2. Solução com potências ímpares ($ a_{2k} = 0 $):
Vamos definir $ n = 2k+1 $.
A relação de recorrência fica:
a4 = -13 a2 = 13 a0
Começando com $ a_1 $, podemos calcular os coeficientes:
a6 = -15 a4 = -115 a0
vdots
ypar(x) = a0 (1 - x^2 + x^43 - x^615 + cdots )
a2k = 0
Portanto, a solução com potências ímpares é:
n = 2k+1 í

Resposta

As duas soluções em séries de potências centradas em 0 para a EDO $ y’’ + x y’ + 2y = 0 $ são:
y'' + x y' + 2y = 0
ypar(x) = a0 (1 - x^2 + x^43 - x^615 + cdots ) í
Onde $ a_0 $ e $ a_1 $ são constantes arbitrárias determinadas pelas condições iniciais.

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