Considere a EDO
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Obtenha duas soluções em séries de potências em torno do ponto 0 para a EDO, uma apenas com potências pares e outra apenas com potências ímpares. (Você deve deduzir a expressão dos coeficientes a partir das equações de recorrência)
Obtenha duas soluções em séries de potências em torno do ponto 0 para a EDO, uma apenas com potências pares e outra apenas com potências ímpares. (Você deve deduzir a expressão dos coeficientes a partir das equações de recorrência)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para resolver uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) do tipo $ y’’ + x y’ + 2y = 0 $ usando séries de potências centradas no ponto 0. Especificamente, precisamos encontrar duas soluções: uma que envolva apenas potências pares de $ x $ e outra que envolva apenas potências ímpares. Para isso, vamos utilizar o método de séries de potências, que é uma técnica útil quando não conseguimos resolver a EDO de forma simples.
Passo 2
Primeiro, vamos supor que a solução $ y(x) $ pode ser expressa como uma série de potências em torno de $ x = 0 $. Ou seja:
Aqui, $ a_n $ são os coeficientes que precisamos determinar.
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas de $ y(x) $:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Passo 4
Substituindo $ y(x) $, $ y’(x) $ e $ y’’(x) $ na EDO original:
Passo 5
Vamos ajustar os índices das somas para que todas comecem em $ n = 0 $. Para o primeiro termo:
Para o segundo termo:
O terceiro termo já está com índice começando em 0.
Então, nossa equação fica:
Passo 6
Agora, combinamos as somas:
Para que essa equação seja verdadeira para todo $ x $, o coeficiente de cada potência de $ x^n $ deve ser zero:
Passo 7
Vamos simplificar a equação de recorrência:
Essa relação nos permite expressar $ a_{n+2} $ em termos de $ a_n $.
Passo 8
Agora, precisamos considerar duas possibilidades para atender ao requisito do exercício:
-
Solução com potências pares:Vamos assumir que apenas os coeficientes com índices pares são diferentes de zero, ou seja, $ a_{2k+1} = 0 $ para todo $ k $. Começamos com $ a_0 $ livre (não nulo) e $ a_1 = 0 $.
-
Solução com potências ímpares:Aqui, apenas os coeficientes com índices ímpares são diferentes de zero, ou seja, $ a_{2k} = 0 $ para todo $ k $. Começamos com $ a_1 $ livre e $ a_0 = 0 $.
Passo 9
1. Solução com potências pares ($ a_{2k+1} = 0 $):
Vamos definir $ n = 2k $, onde $ k $ é inteiro não negativo.
A relação de recorrência fica:
Começando com $ a_0 $, podemos calcular os coeficientes:
Portanto, a solução com potências pares é:
2. Solução com potências ímpares ($ a_{2k} = 0 $):
Vamos definir $ n = 2k+1 $.
A relação de recorrência fica:
Começando com $ a_1 $, podemos calcular os coeficientes:
Portanto, a solução com potências ímpares é:
Resposta
As duas soluções em séries de potências centradas em 0 para a EDO $ y’’ + x y’ + 2y = 0 $ são:
Onde $ a_0 $ e $ a_1 $ são constantes arbitrárias determinadas pelas condições iniciais.