Determine o limite de
f(x, y)=pi(raiz y+16-4) / x y+3 y na origem, i.e., tomando-se (x, y) (0,0)
Escolha uma opção:
a. pi / 12
b. pi / 24
c. pi
d. pi / 8
e. 1 / 2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo que envolve encontrar o limite de uma função de duas variáveis quando (x, y) se aproxima de (0,0). O conteúdo principal aqui é limites de funções multivariadas. Para resolver, vamos precisar entender como manipular expressões com duas variáveis e aplicar técnicas de limites.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função para facilitar a análise:
f(x, y) = pi (raizy + 16 - 4)x cdot y + 3y
Nosso objetivo é encontrar:
lim(x, y) to (0,0) f(x, y)

Passo 3

Vamos simplificar o numerador. Observe que raizy + 16 pode ser expandido usando a fórmula de binômio de Newton para aproximações:
raizy + 16 = raiz16 (1 + y16) = 4 raiz1 + y16 approx 4 (1 + y32) = 4 + y8
Então,
raizy + 16 - 4 approx y8

Passo 4

Substituindo essa aproximação na função original:
f(x, y) approx pi cdot y8x cdot y + 3y = pi y8(xy + 3y)
Podemos fatorar o y no denominador:
f(x, y) = pi y8y(x + 3) = pi8(x + 3)

Passo 5

Agora, vamos avaliar o limite quando (x, y) to (0,0):
lim(x, y) to (0,0) pi8(x + 3) = pi8(0 + 3) = pi24

Resposta

A alternativa correta é a letra b. pi / 24.

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