Considere a edo y^prime prime-5 y^prime+6 y=x e^5 x.
b) Use o Metodo dos Coeficientes Indeterminados para obter uma solução particular da edo não-homogênea dada.

Passo 1

Temos a EDO y'' - 5y' + 6y = x e^5x. É uma equação diferencial linear de 2ª ordem não-homogênea e vamos usar o Método dos Coeficientes Indeterminados para achar uma solução particular.

Passo 2

Primeiro, olhamos a parte homogênea associada: y'' - 5y' + 6y = 0. A equação característica é lambda^2 - 5lambda + 6 = 0, com raízes lambda = 2 e lambda = 3. Como 5 não é raiz, o termo e^5x não aparece na solução homogênea, então podemos propor sem multiplicar por potências extras de x.

Passo 3

Proponha uma solução particular da forma
yp(x) = (a x + b),e^5x
pois o lado direito é um polinômio de grau 1 vezes e^5x.

Passo 4

Calcule as derivadas de yp:
yp'(x) = (a + 5(a x + b))e^5x = (5a x + (5b + a))e^5x,
yp''(x) = (5a + 5(5a x + (5b + a)))e^5x = (25a x + (10a + 25b))e^5x

Passo 5

Substitua yp, yp' e yp'' na EDO e colete os coeficientes de x e^5x e de e^5x:
yp'' - 5yp' + 6yp = (6a x + (5a + 6b))e^5x = x e^5x
Igualando coeficientes, vem 6a = 1 e 5a + 6b = 0.

Resposta

Uma solução particular é
yp(x) = l(16x - 536r)e^5x

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