Considere a sequência
.
Mostre que a sequência é limitada;
Mostre que a sequência é limitada;
Passo 1
O enunciado define a sequência
e pede para mostrar que ela é limitada. O conteúdo principal é entender o crescimento do fatorial em comparação com a potência, e usar teoria de séries ou definição de sequência limitada para concluir.
Passo 2
Uma sequência
é dita limitada se existe uma constante
tal que para todo
temos
. No nosso caso, como
, basta encontrar
tal que
para todo
.
Passo 3
Vamos usar a série de Taylor da função exponencial. Lembrando que para qualquer
vale
logo, tomando
, obtemos
Passo 4
Como todos os termos da soma são positivos, cada termo individual satisfaz
Portanto, escolhendo
, garantimos que para todo
Isso mostra que a sequência
é limitada por
.
Resposta
A sequência é limitada pois, para todo
, temos
. Portanto, basta tomar como cota superior
.