Considere a sequência (pi^nn!)n in N.
Mostre que a sequência é limitada;

Passo 1

O enunciado define a sequência an = pi^nn! e pede para mostrar que ela é limitada. O conteúdo principal é entender o crescimento do fatorial em comparação com a potência, e usar teoria de séries ou definição de sequência limitada para concluir.

Passo 2

Uma sequência (an)nin N é dita limitada se existe uma constante M>0 tal que para todo n temos |an|<= M. No nosso caso, como pi^n/n!>0, basta encontrar M tal que pi^nn!<= M para todo n.

Passo 3

Vamos usar a série de Taylor da função exponencial. Lembrando que para qualquer xin R vale
e^x = sumk=0^infty x^kk!,
logo, tomando x=pi, obtemos
e^pi = sumk=0^infty pi^kk!

Passo 4

Como todos os termos da soma são positivos, cada termo individual satisfaz
pi^nn! <= sumk=0^infty pi^kk! = e^pi
Portanto, escolhendo M = e^pi, garantimos que para todo n
0 <= pi^nn! <= M
Isso mostra que a sequência l(pi^nn!r) é limitada por M=e^pi.

Resposta

A sequência é limitada pois, para todo n, temos 0<= tfracpi^nn!<= e^pi. Portanto, basta tomar como cota superior M=e^pi.

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