Considere a sequência
. Em cada item, faça o que se pede.
© A sequencia é convergente? Justifique sua resposta. Se a resposta for positiva, determine o limite da sequencia.
© A sequencia é convergente? Justifique sua resposta. Se a resposta for positiva, determine o limite da sequencia.
Passo 1
Temos a sequência
para
. O enunciado pede para verificar se
converge e, em caso afirmativo, achar o seu limite. Vamos usar o teste da razão para sequências e a ideia de que o fatorial cresce mais rápido que a exponencial.
Passo 2
Calculamos a razão entre termos sucessivos:
Esse cálculo mostra como a sequência varia de um termo para o outro.
Passo 3
Analisamos o comportamento de
quando
:
Como esse limite é menor que 1, a teoria do teste da razão garante que
. Intuitivamente, a cada passo a fração diminui muito rápido porque
cresce mais do que
.
Passo 4
Portanto, a sequência
é convergente e seu limite é 0.
Resposta
Sim, converge e
.