Considere a sequência (pi^nn!)n in N. Em cada item, faça o que se pede.
© A sequencia é convergente? Justifique sua resposta. Se a resposta for positiva, determine o limite da sequencia.

Passo 1

Temos a sequência an = pi^nn! para ninN. O enunciado pede para verificar se (an) converge e, em caso afirmativo, achar o seu limite. Vamos usar o teste da razão para sequências e a ideia de que o fatorial cresce mais rápido que a exponencial.

Passo 2

Calculamos a razão entre termos sucessivos:
an+1an = pi^n+1/(n+1)!pi^n/n! = pin+1
Esse cálculo mostra como a sequência varia de um termo para o outro.

Passo 3

Analisamos o comportamento de an+1an quando ntoinfty:
limntoinfty pin+1 = 0
Como esse limite é menor que 1, a teoria do teste da razão garante que anto0. Intuitivamente, a cada passo a fração diminui muito rápido porque n! cresce mais do que pi^n.

Passo 4

Portanto, a sequência l(pi^nn!r) é convergente e seu limite é 0.

Resposta

Sim, converge e limntoinftypi^nn!=0.

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