Considere a sequência (pi^nn!)n in N. Em cada item, faça o que se pede.
(a) Mostre que a sequência é estritamente decrescente a partir do seu terceiro termo;

Passo 1

O enunciado dá a sequência an = pi^nn! e pede para mostrar que ela é estritamente decrescente a partir do terceiro termo. O conteúdo aqui é estudo de monotonicidade de sequências, e vamos precisar usar o critério de razão entre termos consecutivos: se tfracan+1an<1, então an+1.

Passo 2

Vamos calcular a razão entre termos consecutivos e verificar quando ela fica abaixo de 1. Primeiro,
an+1an=pi^n+1/(n+1)!pi^n/n!=pi^n+1pi^ncdotn!(n+1)!=picdot1n+1=pin+1

Passo 3

Para n>=3, temos n+1>=4 e, como pi<4, segue
pin+1<=pi4<1

Passo 4

Logo, para todo n>=3, tfracan+1an<1, ou seja, an+1. Assim, a sequência é estritamente decrescente a partir do terceiro termo.

Resposta

A partir de n=3, tfracan+1an=tfracpin+1<1, logo an+1 e a sequência é estritamente decrescente a partir do terceiro termo.

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