Considere a edo y^prime prime-5 y^prime+6 y=x e^5 x.
c) Obtenha a solução geral da edo não-homogênea dada.

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da EDO não-homogênea de 2ª ordem y'' - 5y' + 6y = x e^5x. Isso envolve achar primeiro a solução da equação homogênea associada e depois uma solução particular para o termo não-homogêneo usando coeficientes a determinar.

Passo 2

Para resolver a parte homogênea, montamos a equação característica associada r^2 - 5r + 6 = 0. As raízes são r=2 e r=3, o que nos dá a solução geral homogênea
yh(x) = C1 e^2x + C2 e^3x

Passo 3

Usamos o método dos coeficientes a determinar para achar uma solução particular. Como o segundo membro é x e^5x e r=5 não é raiz da característica, supomos
yp(x) = (A x + B)e^5x
Calculamos as derivadas, substituímos em y'' - 5y' + 6y e igualamos a x e^5x, obtendo o sistema para A e B. A resolução leva a A=1/6 e B=-5/36, logo
yp(x) = l(x6 - 536r)e^5x

Passo 4

A solução geral da EDO é a soma da parte homogênea com a particular.

Resposta

y(x) = C1 e^2x + C2 e^3x + l(x6 - 536r)e^5x

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