[Lathi, 2007, baseado no ex. 4.3-7] Para um sistema com função de transferência
H(s)=s+6s^2+5 s+6
Determine a resposta para as entradas:
x(t)=u(t-5)

Passo 1

O enunciado pede a resposta do sistema de função de transferência H(s)=s+6s^2+5s+6 quando a entrada é um degrau atrasado x(t)=u(t-5). Vamos usar transformada de Laplace e a propriedade de deslocamento no tempo para encontrar y(t).

Passo 2

Aplicamos transformada de Laplace à entrada atrasada. Sabendo que Lu(t-a)=e^-a ss, temos
X(s)=e^-5ss

Passo 3

Multiplicamos H(s) por X(s) para obter Y(s):
Y(s)=H(s),X(s)=s+6s^2+5s+6cdote^-5ss=s+6s(s+2)(s+3),e^-5s

Passo 4

Fazemos frações parciais em dfracs+6s(s+2)(s+3):
Procuramos constantes A,B,C tais que
s+6s(s+2)(s+3)=As+Bs+2+Cs+3
Resolvendo, achamos A=1, B=-2 e C=1, logo
s+6s(s+2)(s+3)=1s-2s+2+1s+3

Passo 5

Aplicamos a inversa de Laplace (sem considerar ainda o atraso):
para t>=0
y0(t)=1-2e^-2t+e^-3t

Passo 6

Finalmente, usamos a propriedade de deslocamento no tempo: multiplicamos y0(t) por u(t-5) e substituímos t por .

Resposta

y(t)=\bigl[1-2e{-2(t-5)}+e{-3(t-5)}\bigr]u(t-5)

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