Determine se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Justifique sua resposta.
(a) ( ) Se (an)n in N é uma sequência limitada, então (ann^2)n in N é convergente;

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a afirmação “se (an) é limitada, então (an/n^2) converge” é verdadeira ou falsa. O conteúdo envolvido é limites de sequências e aplicação do Teorema do Confronto (Alternativo do Sanduíche).

Passo 2

Como (an) é limitada, existe M>0 tal que para todo n, temos |an|<= M. Logo, para todo n, vale:
|ann^2|<=Mn^2

Passo 3

Sabemos que limntoinftyMn^2=0 e -Mn^2<=ann^2<=Mn^2. Pelo Teorema do Confronto,
limntoinftyann^2=0

Resposta

Verdadeira, pois ann^2 é limitada em módulo por M/n^2 que tende a zero, e assim converge a zero pelo Teorema do Confronto.

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