Considere a edo y^prime prime-5 y^prime+6 y=x e^5 x.
a) Obtenha a solução geral da edo homogênea correspondente.

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial homogênea associada à EDO y''-5y'+6y = x e^5x, que é um caso de EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Vamos usar o método da equação característica.

Passo 2

A primeira ação é escrever a equação homogênea correspondente:
y'' - 5y' + 6y = 0

Passo 3

Em seguida, montamos a equação característica associada trocando y por e^rx:
r^2 - 5r + 6 = 0

Passo 4

Resolvendo essa equação do segundo grau temos o discriminante De. Assim as raízes são
r = 5 pm 12,isto é, r1 = 3 e r2 = 2.

Passo 5

Como as raízes são reais e distintas, as soluções fundamentais são e^3x e e^2x, e a solução geral é a combinação linear delas.

Resposta

yh(x) = C1e^2x + C2e^3x

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