[Lathi, 2007, ex. 4.3-6] Para cada um dos sistemas especificados pelas seguintes funções de transferência, determine a equação diferencial que relaciona a saída y(t) com a entrada x(t), assumindo que os sistemas são controláveis e observáveis:
H(s)=5 s^2+7 s+2s^2-2 s+5

Passo 1

O enunciado pede para converter a função de transferência H(s)=Y(s)X(s)=5s^2 + 7s + 2s^2 - 2s + 5 numa equação diferencial em que a saída y(t) é relacionada à entrada x(t). Vamos usar a propriedade de que multiplicar por s^n no domínio de s equivale a derivar n vezes no domínio do tempo.

Passo 2

Primeiro, escrevemos a relação entre Y(s) e X(s) multiplicando ambos os lados pelo denominador de H(s):
(s^2 - 2s + 5),Y(s) = (5s^2 + 7s + 2),X(s)
Em seguida, aplicamos a transformada inversa de Laplace sabendo que s^2Y(s) vira y''(t), sY(s) vira y'(t), e igual para X(s). Assim obtemos no domínio do tempo:
l(D^2 - 2D + 5r)y(t) = l(5D^2 + 7D + 2r)x(t)

Passo 3

Finalmente, traduzimos D como derivada em relação a t e escrevemos a equação diferencial completa:

Resposta

y''(t) - 2y'(t) + 5y(t) = 5x''(t) + 7x'(t) + 2x(t)

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