Considere a edo y^prime prime-5 y^prime+6 y=x e^5 x.
Obtenha a solução geral da edo não-homogênea dada.

Passo 1

Temos a EDO y''-5y'+6y = x e^5x, que é uma equação diferencial linear de 2ª ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos encontrar primeiro a solução geral da parte homogênea e depois um particular para a não‐homogênea.

Passo 2

Analisando a homogênea y''-5y'+6y=0, montamos o polinômico característico r^2-5r+6=0. As raízes são r1=2 e r2=3. Logo a solução homogênea é
yh = C1e^2x+C2e^3x

Passo 3

Para achar um particular da forma x e^5x, observamos que o termo não‐homogêneo é 5 e que yp = e^5x(Ax+B) não é raiz do característico. Portanto tentamos

Passo 4

Agora calculamos as derivadas de yp:
yp' = e^5xigl(A+5(Ax+B)r) = e^5x(5Ax + A +5B), 
yp'' = e^5xl(5A +5(5Ax + A +5B)r) = e^5x(25Ax +10A +25B)
Substituindo em y''-5y'+6y e fatorando e^5x, obtemos
LHS = e^5xl(6Ax +5A +6Br)

Passo 5

Igualando ao lado direito x e^5x, igualamos coeficientes de x e constantes:
6A = 1,
5A +6B = 0
Daí A=1/6 e B=-5/36.

Passo 6

Com esses valores, o particular fica
yp = e^5xl(tfrac16x - tfrac536r)
A solução geral da equação original é a soma de yh e yp.

Resposta

y(x)=C1e^2x+C2e^3x+e^5xl(tfrac16x - tfrac536r)

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