Determine se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Justifique sua resposta.
( ) Uma sequência limitada é convergente;
( ) Uma sequência limitada é convergente;
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão está perguntando se toda sequência que é limitada também é convergente. Estamos trabalhando com análise de sequências, especificamente explorando os conceitos de sequência limitada e sequência convergente. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa cada um desses termos e ver se uma sequência limitada sempre garante que ela converge.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma sequência limitada. Uma sequência
é limitada se existe um número real
tal que todos os seus termos satisfazem
para todo
. Ou seja, os valores da sequência não “escapam” de certos limites, permanecendo sempre dentro de uma faixa específica no eixo dos números reais.
Passo 3
Agora, vamos ver o que é uma sequência convergente. Uma sequência
converge para um limite
se, à medida que
cresce, os termos da sequência ficam cada vez mais próximos de
. Matemáticamente, para todo
, existe um número
tal que para todo
,
.
Passo 4
A pergunta é: toda sequência limitada é necessariamente convergente? A resposta é não. Embora uma sequência limitada não apele para valores infinitamente grandes ou pequenos, isso não garante que ela se aproxime de algum valor específico à medida que avança.
Por exemplo, considere a sequência
. Essa sequência oscila entre 1 e -1. Ela é limitada porque todos os seus termos estão entre -1 e 1. No entanto, não converge para nenhum valor específico, já que continua alternando sem se estabilizar em um único ponto.
Resposta
Falso. Nem toda sequência limitada é convergente.