Considere a edo y^prime prime-5 y^prime+6 y=x e^5 x.
Use o Metodo dos Coeficientes Indeterminados para obter uma solução particular da edo não-homogênea dada.

Passo 1

Temos a EDO y'' - 5y' + 6y = x e^5x. O conteúdo é o método dos coeficientes indeterminados para achar uma solução particular de uma EDO linear de 2ª ordem não-homogênea com termo da forma polinômio vezes exponencial. Vamos usar como estratégia escolher um ansatz compatível com x e^5x e determinar os coeficientes.

Passo 2

A equação homogênea associada é dada por r^2 - 5r + 6 = 0, cujas raízes são r=2 e r=3. Como 5 não é raiz dessa equação, não há ressonância com o termo e^5x. Logo, o ansatz para a parte particular é
yp = (Ax + B)e^5x

Passo 3

Calculamos as derivadas necessárias:
yp' = (5Ax + (A + 5B))e^5x,
yp'' = (25Ax + (10A + 25B))e^5x

Passo 4

Substituindo em y'' - 5y' + 6y e agrupando, obtemos
yp'' - 5yp' + 6yp = (6Ax + (5A + 6B))e^5x

Passo 5

Para coincidir com x e^5x, igualamos os polinômios:
6A x + (5A + 6B) = x

Passo 6

Isso gera o sistema:
6A = 1,
5A + 6B = 0

Resposta

A solução particular é yp(x) = l(tfracx6 - tfrac536r)e^5x.

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