Considere a EDO
.
Fazendo a mudança
, obtenha a EDO linear
.
Fazendo a mudança
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) do tipo:
O conteúdo principal aqui é a resolução de EDOs utilizando substituições de variáveis. Para resolver essa equação, vamos precisar fazer uma mudança de variável que simplifique a equação, tornando-a linear.
Passo 2
Vamos fazer a mudança de variável sugerida: seja
. Isso significa que estamos definindo
como o logaritmo natural de
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada de
em relação a
, ou seja,
. Sabemos que:
Aqui, usamos a regra da cadeia para derivar
.
Passo 4
Substituímos
da EDO original pela expressão encontrada para
:
Substituindo na EDO:
Passo 5
Perceba que
. Vamos substituir isso na equação:
Agora, podemos dividir todos os termos por
(supondo que
):
Passo 6
A equação resultante:
É uma EDO linear na variável
.
Resposta
Após a substituição
, a EDO original se transforma na EDO linear: