Considere a EDO y^prime+p(x) y=q(x) y ln y.
Fazendo a mudança v=ln y, obtenha a EDO linear v^prime+p(x)=q(x) v.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) do tipo:
y^prime + p(x) y = q(x) y ln y
O conteúdo principal aqui é a resolução de EDOs utilizando substituições de variáveis. Para resolver essa equação, vamos precisar fazer uma mudança de variável que simplifique a equação, tornando-a linear.

Passo 2

Vamos fazer a mudança de variável sugerida: seja . Isso significa que estamos definindo como o logaritmo natural de .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de v = ln y v^prime = ddx (ln y) = y^primey em relação a , ou seja, . Sabemos que:
Aqui, usamos a regra da cadeia para derivar .

Passo 4

Substituímos y^prime = y v^prime da EDO original pela expressão encontrada para y v^prime + p(x) y = q(x) y ln y :
Substituindo na EDO:

Passo 5

Perceba que y v^prime + p(x) y = q(x) y v . Vamos substituir isso na equação:
v^prime + p(x) = q(x) v
Agora, podemos dividir todos os termos por (supondo que ):

Passo 6

A equação resultante:
v^prime + p(x) = q(x) v
É uma EDO linear na variável .

Resposta

Após a substituição v^prime + p(x) = q(x) v , a EDO original se transforma na EDO linear:

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