- Considere o eixo maciço de seção cilíndrica e densidade constante
delimitado pelos planos
e pelo cilindro
. Expresse a integral tripla, com os limites de integração adequados, que nos permite calcular o momento de inércia do eixo em relação ao eixo
. Não é necessário calcular a integral. (7 pontos)
Passo 1
O enunciado pede: expressar a integral tripla, com limites de integração adequados, que permite calcular o momento de inércia do eixo em relação ao eixo
. Não é necessário calcular a integral.
Informações dadas:
Informações dadas:
- densidade constante:
; - superfície cilíndrica lateral:
(logo o raio do cilindro é ); - planos que limitam o sólido:
e ; - o sólido é o volume dentro do cilindro e entre esses dois planos.
Objetivo explícito: escrever a integral tripla que representa(momento de inércia em relação ao eixo ), com todos os limites.
Passo 2
Definição e fórmula que vamos usar (aula rápida e direta). O momento de inércia de um corpo em relação ao eixo
é
onde
é a distância do elemento de massa ao eixo
. Aqui
é a distância radial no plano
, isto é
. Como a densidade é constante
, temos
. Portanto a integranda em coordenadas cartesianas seria
, e em seguida convertemos para coordenadas mais convenientes.
Passo 3
Escolha de coordenadas e justificativa curta. Usamos coordenadas cilíndricas porque:
- a fronteira lateral
vira simplesmente ; - a expressão
vira , que simplifica a integranda; - o elemento de volume é
.
Transformações relevantes:
Passo 4
Transcrever as superfícies limites nas coordenadas cilíndricas.
- Cilindro:
. - Plano
: como , temos . - Plano
permanece .
Passo 5
Determinar os limites de integração (explicando por que cada um vale isso).
-
percorre todo o contorno circular: . -
vai do eixo até a superfície lateral do cilindro: . - Para cada
fixos, varia entre o plano inclinado (limite inferior) e o plano horizontal (limite superior). Verificação rápida: para e qualquer , , logo o limite inferior é sempre menor que o superior, então a escolha é válida.
Passo 6
Construir a integral usando tudo o que já foi visto. Começamos de
Em coordenadas cilíndricas substituímos
e
. Assim a integranda fica
. Colocando os limites obtidos:
Observação: não é preciso calcular a integral; aqui já está expressa com limites corretos.