1. Considere o eixo maciço de seção cilíndrica e densidade constante \delta delimitado pelos planos y+z=4, z=16 e pelo cilindro x^{2}+y^{2}=16. Expresse a integral tripla, com os limites de integração adequados, que nos permite calcular o momento de inércia do eixo em relação ao eixo z. Não é necessário calcular a integral. (7 pontos)

Passo 1

O enunciado pede: expressar a integral tripla, com limites de integração adequados, que permite calcular o momento de inércia do eixo em relação ao eixo z. Não é necessário calcular a integral.
Informações dadas:
  • densidade constante: \delta;
  • superfície cilíndrica lateral: x^{2}+y^{2}=16 (logo o raio do cilindro é 4);
  • planos que limitam o sólido: y+z=4 e z=16;
  • o sólido é o volume dentro do cilindro e entre esses dois planos.
    Objetivo explícito: escrever a integral tripla que representa I_{z} (momento de inércia em relação ao eixo z), com todos os limites.

Passo 2

Definição e fórmula que vamos usar (aula rápida e direta). O momento de inércia de um corpo em relação ao eixo z é
I_{z}=\iiint_{V} r^{2}\,dm,
onde r é a distância do elemento de massa ao eixo z. Aqui r é a distância radial no plano xy, isto é r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}. Como a densidade é constante \delta, temos dm=\delta\,dV. Portanto a integranda em coordenadas cartesianas seria \delta(x^{2}+y^{2}), e em seguida convertemos para coordenadas mais convenientes.

Passo 3

Escolha de coordenadas e justificativa curta. Usamos coordenadas cilíndricas porque:
  • a fronteira lateral x^{2}+y^{2}=16 vira simplesmente r=4;
  • a expressão x^{2}+y^{2} vira r^{2}, que simplifica a integranda;
  • o elemento de volume é dV=r\,dr\,d\theta\,dz.
    Transformações relevantes:
x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta,\qquad z=z,\qquad dV=r\,dr\,d\theta\,dz.

Passo 4

Transcrever as superfícies limites nas coordenadas cilíndricas.
  • Cilindro: x^{2}+y^{2}=16 \Rightarrow r=4.
  • Plano y+z=4: como y=r\sin\theta, temos z=4-r\sin\theta.
  • Plano z=16 permanece z=16.

Passo 5

Determinar os limites de integração (explicando por que cada um vale isso).
  • \theta percorre todo o contorno circular: 0\le \theta\le 2\pi.
  • r vai do eixo até a superfície lateral do cilindro: 0\le r\le 4.
  • Para cada (r,\theta) fixos, z varia entre o plano inclinado z=4-r\sin\theta (limite inferior) e o plano horizontal z=16 (limite superior). Verificação rápida: para 0\le r\le 4 e qualquer \theta, 4-r\sin\theta\le 4+4=8<16, logo o limite inferior é sempre menor que o superior, então a escolha é válida.

Passo 6

Construir a integral usando tudo o que já foi visto. Começamos de
I_{z}=\iiint_{V} (x^{2}+y^{2})\,\delta\,dV.
Em coordenadas cilíndricas substituímos x^{2}+y^{2}=r^{2} e dV=r\,dr\,d\theta\,dz. Assim a integranda fica \delta\,r^{2}\cdot r=\delta\,r^{3}. Colocando os limites obtidos:
I_{z}=\int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{r=0}^{4}\int_{z=4-r\sin\theta}^{16}\delta\,r^{3}\,dz\,dr\,d\theta.
Observação: não é preciso calcular a integral; aqui já está expressa com limites corretos.

Resposta

I_{z}=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{4}\int_{4-r\sin\theta}^{16}\delta\,r^{3}\,dz\,dr\,d\theta

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