- Esboce e determine a área delimitada pelos traçados das curvas
e
. (6 pontos)
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: esboçar (desenhar qualitativamente) as curvas e determinar a área limitada pela região fechada entre elas. As curvas dadas são:
e
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- As duas equações explícitas das curvas estão acima.
- A região limitada é a parte do plano onde os traçados das duas curvas se interceptam e formam uma região fechada.
A resolução começa encontrando as interseções e entendendo a forma de cada curva para depois montar a integral que dá a área.
Passo 2
Encontremos os pontos de interseção: resolver a igualdade entre as duas funções para achar os valores de
onde se cruzam.
Traga todos os termos para um lado:
Agora factorizamos o polinômio (procure dois números cujo produto é
e soma é
):
Logo os pontos de interseção em
são
Calculamos as
-correspondentes usando a reta
(é mais simples):
Para :
Para
Para
:
Portanto os pontos de interseção são
e
.
Passo 3
Vamos entender a forma de cada curva para esboçar:
- A função
é uma parábola. Façamos a forma de vértice completando o quadrado:
Assim a parábola tem vértice em
e abre para cima. Zeros da parábola: resolvendo
obtemos
e
, ou seja interseções com o eixo
em
e
.
- A reta
tem coeficiente angular (decresce) e intercepto em igual a ; corta o eixo em e o eixo em .
Passo 4
Instruções para esboçar (desenho qualitativo passo a passo):
- Marque os pontos importantes: vértice da parábola em
, zeros da parábola em e , interseções das curvas em e , e ponto da reta em . - Desenhe a parábola com vértice em
abrindo para cima passando por e . - Desenhe a reta com inclinação
passando por e por . - A região limitada fica entre os dois pontos de interseção
e , fechada pela parábola abaixo e pela reta acima (ver próximo passo como determinar quem está acima).
Passo 5
Precisamos saber qual curva está “por cima” (maior
) no intervalo de interseção
. Teste em um ponto interior, por exemplo
:
Como
, a reta está acima e a parábola abaixo em
. Pelo comportamento contínuo e pelas interseções em
e
, isso vale para todo o intervalo
. Portanto, ao calcular a área usaremos integrando (reta) menos (parábola).
Passo 6
Fórmula para a área entre duas curvas: se temos duas funções contínuas
e
em
e
para todo
, a área da região entre elas é
Aqui
(reta, superior) e
(parábola, inferior), e
,
. Montamos a integral:
Passo 7
Simplificamos o integrando antes de integrar:
Logo
Calcule a primitiva termo a termo (dou uma mini-aula de integrais básicas:
para
;
, lineares separam):
-
. -
. -
.
Assim uma primitiva é
Passo 8
Avalie
nos limites
e
e subtraia:
Calcule :
Calcule
Calcule
:
Some os racionais:
. Então
Agora a área:
Colocando denominador comum
:
Resposta
Esboço: parábola
com vértice em
e zeros em
,
; reta
com pontos
e
; região limitada entre
e
, reta acima e parábola abaixo.
Área:
Área: