1. Esboce e determine a área delimitada pelos traçados das curvas \boldsymbol{y}=\boldsymbol{x}^{\mathbf{2}}-\mathbf{2 x} e \boldsymbol{y}=-\boldsymbol{x}+\mathbf{2}. (6 pontos)

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: esboçar (desenhar qualitativamente) as curvas e determinar a área limitada pela região fechada entre elas. As curvas dadas são:
y = x^{2} - 2x
e
y = -x + 2.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • As duas equações explícitas das curvas estão acima.
  • A região limitada é a parte do plano onde os traçados das duas curvas se interceptam e formam uma região fechada.
    A resolução começa encontrando as interseções e entendendo a forma de cada curva para depois montar a integral que dá a área.

Passo 2

Encontremos os pontos de interseção: resolver a igualdade entre as duas funções para achar os valores de x onde se cruzam.
x^{2}-2x = -x+2.
Traga todos os termos para um lado:
x^{2}-2x + x - 2 = 0
x^{2}-x-2 = 0.
Agora factorizamos o polinômio (procure dois números cujo produto é -2 e soma é -1):
x^{2}-x-2=(x-2)(x+1)=0.
Logo os pontos de interseção em x são
x=2 \quad \text{e} \quad x=-1.
Calculamos as y-correspondentes usando a reta y=-x+2 (é mais simples):
Para x=2:
y=-2+2=0.
Para x=-1:
y=-(-1)+2=1+2=3.
Portanto os pontos de interseção são (-1,3) e (2,0).

Passo 3

Vamos entender a forma de cada curva para esboçar:
  • A função y=x^{2}-2x é uma parábola. Façamos a forma de vértice completando o quadrado:
x^{2}-2x = (x^{2}-2x+1)-1 = (x-1)^{2}-1.
Assim a parábola tem vértice em (1,-1) e abre para cima. Zeros da parábola: resolvendo x^{2}-2x=0 obtemos x=0 e x=2, ou seja interseções com o eixo x em (0,0) e (2,0).
  • A reta y=-x+2 tem coeficiente angular -1 (decresce) e intercepto em y igual a 2; corta o eixo y em (0,2) e o eixo x em (2,0).

Passo 4

Instruções para esboçar (desenho qualitativo passo a passo):
  • Marque os pontos importantes: vértice da parábola em (1,-1), zeros da parábola em (0,0) e (2,0), interseções das curvas em (-1,3) e (2,0), e ponto da reta em (0,2).
  • Desenhe a parábola com vértice em (1,-1) abrindo para cima passando por (0,0) e (2,0).
  • Desenhe a reta com inclinação -1 passando por (0,2) e por (2,0).
  • A região limitada fica entre os dois pontos de interseção (-1,3) e (2,0), fechada pela parábola abaixo e pela reta acima (ver próximo passo como determinar quem está acima).

Passo 5

Precisamos saber qual curva está “por cima” (maior y) no intervalo de interseção [-1,2]. Teste em um ponto interior, por exemplo x=0:
\text{parábola em }x=0:\; y = 0^{2}-2\cdot0 = 0.á
\text{reta em }x=0:\; y = -0+2 = 2.
Como 2>0, a reta está acima e a parábola abaixo em x=0. Pelo comportamento contínuo e pelas interseções em -1 e 2, isso vale para todo o intervalo [-1,2]. Portanto, ao calcular a área usaremos integrando (reta) menos (parábola).

Passo 6

Fórmula para a área entre duas curvas: se temos duas funções contínuas f(x) e g(x) em [a,b] e f(x)\ge g(x) para todo x\in[a,b], a área da região entre elas é
\text{Área}=\int_{a}^{b} \bigl(f(x)-g(x)\bigr)\,dx.Á
Aqui f(x)= -x+2 (reta, superior) e g(x)=x^{2}-2x (parábola, inferior), e a=-1, b=2. Montamos a integral:
\text{Área}=\int_{-1}^{2}\bigl[(-x+2)-(x^{2}-2x)\bigr]\,dx.Á

Passo 7

Simplificamos o integrando antes de integrar:
(-x+2)-(x^{2}-2x) = -x+2 - x^{2} + 2x = -x^{2} + x + 2.
Logo
\text{Área}=\int_{-1}^{2}\left(-x^{2}+x+2\right)\,dx.Á
Calcule a primitiva termo a termo (dou uma mini-aula de integrais básicas: \int x^{n}dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1} para n\neq -1; \int ax\,dx = a\int x\,dx, lineares separam):
  • \displaystyle \int -x^{2}\,dx = -\dfrac{x^{3}}{3}.
  • \displaystyle \int x\,dx = \dfrac{x^{2}}{2}.
  • \displaystyle \int 2\,dx = 2x.
    Assim uma primitiva é
F(x) = -\dfrac{x^{3}}{3} + \dfrac{x^{2}}{2} + 2x.

Passo 8

Avalie F(x) nos limites x=2 e x=-1 e subtraia:
Calcule F(2):
F(2) = -\dfrac{2^{3}}{3} + \dfrac{2^{2}}{2} + 2\cdot2 = -\dfrac{8}{3} + \dfrac{4}{2} + 4 = -\dfrac{8}{3} + 2 + 4 = -\dfrac{8}{3} + 6 = \dfrac{-8+18}{3} = \dfrac{10}{3}.
Calcule F(-1):
F(-1) = -\dfrac{(-1)^{3}}{3} + \dfrac{(-1)^{2}}{2} + 2(-1) = -\left(-\dfrac{1}{3}\right) + \dfrac{1}{2} - 2 = \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{2} - 2.
Some os racionais: \dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{2}=\dfrac{2+3}{6}=\dfrac{5}{6}. Então
F(-1)=\dfrac{5}{6}-2=\dfrac{5-12}{6}=\dfrac{-7}{6}.
Agora a área:
\text{Área}=F(2)-F(-1)=\dfrac{10}{3}-\left(-\dfrac{7}{6}\right)=\dfrac{10}{3}+\dfrac{7}{6}.Á
Colocando denominador comum 6:
\text{Área}=\dfrac{20}{6}+\dfrac{7}{6}=\dfrac{27}{6}=\dfrac{9}{2}.Á

Resposta

Esboço: parábola y=x^{2}-2x com vértice em (1,-1) e zeros em (0,0), (2,0); reta y=-x+2 com pontos (0,2) e (2,0); região limitada entre (-1,3) e (2,0), reta acima e parábola abaixo.
Área: \dfrac{9}{2}

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