- Considere o eixo maciço de seção cilíndrica e densidade constante
delimitado pelos planos
,
e pelo cilindro
. Expresse a integral tripla, com os limites de integração adequados, que nos permite calcular o momento de inércia do eixo em relação ao eixo
. Não é necessário calcular a integral. (7 pontos)
Passo 1
O que o enunciado pede: expressar a integral tripla (com limites) que permite calcular o momento de inércia do eixo maciço em relação ao eixo
. Não é pedido calcular a integral, só escrevê-la com os limites corretos.
Informações dadas:
- Densidade constante do corpo:
. - Região sólida limitada por:
- o cilindro
(ou seja, raio ), - o plano inferior
, - o plano superior
(equivalente a ).
- o cilindro
- Eixo de rotação para o momento de inércia: eixo
. - A incógnita desejada é a integral tripla que representa
, o momento de inércia em relação ao eixo .
Passo 2
Definição e escolha de coordenadas (explicação didática):
- O momento de inércia em relação ao eixo
é definido por
onde
é a densidade volumétrica (aqui
constante) e
é o volume do sólido. Essa fórmula faz sentido: cada pequena massa
contribui com
ao momento de inércia.
- Observação sobre a escolha de coordenadas: como a região é circular em
(cilindro de raio ), é muito mais prático usar coordenadas cilíndricas . Em coordenadas cilíndricas: -
- A distância ao eixo
é , logo . - O elemento de volume transforma como
(esse é o jacobiano da mudança de variável; pense nele como área de um anel fino). - Assim o integrando
vira .
-
Passo 3
Determinação dos limites de integração (explicação detalhada):
- Raio do cilindro: pela equação
obtemos . Como o sólido é o interior do cilindro, varia de até : - Ângulo azimutal: o cilindro é completo (não houve indicação de fatia), então
percorre toda a volta: - Limites em
: o plano inferior é , o plano superior é , ou seja . Em coordenadas cilíndricas , então o limite superior em é Portanto varia de até : - Observação de consistência: como
e temos , logo . Portanto o limite superior é sempre maior que o inferior para todos os no domínio, então os limites são válidos para toda a região.
Passo 4
Montagem final da integral (colocando tudo junto):
- Substituindo na fórmula de
e usando coordenadas cilíndricas, obtemos a integral tripla com os limites determinados. Colocando fora como constante:
- Observação prática: se alguém pedisse para calcular, primeiro integraria em
(é simples porque o integrando em é independente de ), depois em e . Mas como o exercício pede só a expressão com limites, paramos aqui.