1. Considere o eixo maciço de seção cilíndrica e densidade constante \delta delimitado pelos planos y+z=25, z=5 e pelo cilindro x^{2}+y^{2}=25. Expresse a integral tripla, com os limites de integração adequados, que nos permite calcular o momento de inércia do eixo em relação ao eixo z. Não é necessário calcular a integral. (7 pontos)

Passo 1

O que o enunciado pede: expressar a integral tripla (com limites) que permite calcular o momento de inércia do eixo maciço em relação ao eixo z. Não é pedido calcular a integral, só escrevê-la com os limites corretos.
Informações dadas:
  • Densidade constante do corpo: \delta.
  • Região sólida limitada por:
    • o cilindro \,x^{2}+y^{2}=25 (ou seja, raio 5),
    • o plano inferior \,z=5,
    • o plano superior \,y+z=25 (equivalente a \,z=25-y).
  • Eixo de rotação para o momento de inércia: eixo z.
  • A incógnita desejada é a integral tripla que representa I_z, o momento de inércia em relação ao eixo z.

Passo 2

Definição e escolha de coordenadas (explicação didática):
  • O momento de inércia em relação ao eixo z é definido por
I_z=\iiint_{V}\rho\,(x^{2}+y^{2})\,dV,
onde \rho é a densidade volumétrica (aqui \rho=\delta constante) e V é o volume do sólido. Essa fórmula faz sentido: cada pequena massa \rho\,dV contribui com (\text{distância ao eixo }z)^2=\,(x^2+y^2)â ao momento de inércia.
  • Observação sobre a escolha de coordenadas: como a região é circular em x,y (cilindro de raio 5), é muito mais prático usar coordenadas cilíndricas (r,\theta,z). Em coordenadas cilíndricas:
    • \,x=r\cos\theta,\quad y=r\sin\theta,\quad z=z.
    • A distância ao eixo z é \sqrt{x^{2}+y^{2}}=r, logo x^{2}+y^{2}=r^{2}.
    • O elemento de volume transforma como dV = r\,dr\,d\theta\,dz (esse r é o jacobiano da mudança de variável; pense nele como área de um anel fino).
    • Assim o integrando \rho(x^{2}+y^{2})\,dV vira \delta\cdot r^{2}\cdot (r\,dr\,d\theta\,dz)=\delta\,r^{3}\,dr\,d\theta\,dz.

Passo 3

Determinação dos limites de integração (explicação detalhada):
  • Raio do cilindro: pela equação \,x^{2}+y^{2}=25 obtemos r=5. Como o sólido é o interior do cilindro, r varia de 0 até 5: 0\le r\le 5.
  • Ângulo azimutal: o cilindro é completo (não houve indicação de fatia), então \theta percorre toda a volta: 0\le \theta\le 2\pi.
  • Limites em z: o plano inferior é \,z=5, o plano superior é \,y+z=25, ou seja \,z=25-y. Em coordenadas cilíndricas y=r\sin\theta, então o limite superior em z é z=25 - y = 25 - r\sin\theta.Portanto z varia de 5 até 25 - r\sin\theta: 5 \le z \le 25 - r\sin\theta.
  • Observação de consistência: como r\le 5 e \sin\theta\le 1 temos r\sin\theta\le 5, logo 25 - r\sin\theta \ge 20 >5. Portanto o limite superior é sempre maior que o inferior para todos os (r,\theta) no domínio, então os limites são válidos para toda a região.

Passo 4

Montagem final da integral (colocando tudo junto):
  • Substituindo na fórmula de I_z e usando coordenadas cilíndricas, obtemos a integral tripla com os limites determinados. Colocando \delta fora como constante:
I_z=\delta \int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{r=0}^{5}\int_{z=5}^{25 - r\sin\theta} r^{3}\,dz\,dr\,d\theta.
  • Observação prática: se alguém pedisse para calcular, primeiro integraria em z (é simples porque o integrando em z é independente de z), depois em r e \theta. Mas como o exercício pede só a expressão com limites, paramos aqui.

Resposta

I_z=\delta \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{5}\int_{5}^{25 - r\sin\theta} r^{3}\,dz\,dr\,d\theta.

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