Considere um elétron em uma caixa unidimensional de comprimento L=10,00 nm . Esse elétron é representado pela função de onda normalizada abaixo (Psin(x)).
a) Considerando o estado n=3, qual a probabilidade de encontrar o elétron entre 1,00 nm e 1,01 nm ?
b) Qual o valor mais provável de lang<= x^2rang<=, para o estado n=3.
c) Prove a ortogonalidade das funções de onda para quaisquer dois estados n.
Psin(x)=raiz2L sen n piL x

Passo 1

O enunciado trata de um elétron confinado numa caixa unidimensional de comprimento L=10,00 nm, cuja função de onda normalizada é
Psin(x)=raiz2Lsin!gl(npiLxgr),
para n=1,2,3,dots. Precisamos:
– (a) calcular a probabilidade de encontrar o elétron no intervalo de x=1,00 nm a x=1,01 nm quando n=3, usando P=integralx1^x2|Psi3(x)|^2,dx.
– (b) achar o valor esperado de x^2, lang<= x^2rang<=, para n=3, via lang<= x^2rang<==integral0^L x^2,|Psi3(x)|^2,dx.
– (c) provar a ortogonalidade integral0^LPsin(x),Psim(x),dx=de<anm.

Passo 2

Para (a), escrevemos
P=integral1,00^1,01l|Psi3(x)r|^2dx =2Lintegral1,00^1,01sin^2!l(tfrac3pi xLr),dx
Usamos sin^2theta=(1-cos2theta)/2, então
integralsin^2!l(tfrac3pi xLr)dx =x2-L4cdot3pisin!l(tfrac6pi xLr)
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P=2Lgl[x2-L12pisin!l(tfrac6pi xLr)gr]1,00^1,01 =x2-x1L-16pil[sin!l(tfrac6pi x2Lr)-sin!l(tfrac6pi x1Lr)r]

Passo 3

Substituindo L=10 nm, x1=1,00 nm e x2=1,01 nm, temos
Papprox0,0110-16pil[sin(0,606pi)-sin(0,600pi)r] approx1,0times10^-3-l(-2,97times10^-4r) approx1,30times10^-3

Passo 4

Para (b),
lang<= x^2rang<= =2Lintegral0^Lx^2sin^2!l(tfrac3pi xLr),dx
Usando integral padrão, obtém-se
lang<= x^2rang<= =L^2l(tfrac13-12n^2pi^2r) para >=ral (n)
Para n=3,
lang<= x^2rang<= =L^2l(tfrac13-118pi^2r) approx(10,nm)^2l(0,3333-0,00563r) approx32,8;nm^2

Passo 5

Para (c), consideramos
integral0^LPsin(x),Psim(x),dx =2Lintegral0^Lsin!l(tfracnpi xLr)sin!l(tfracmpi xLr),dx
Sabe-se da ortogonalidade das senos que
integral0^Lsin!l(tfracnpi xLr)sin!l(tfracmpi xLr),dx =L2,de<anm
Multiplicando por 2/L
integral0^LPsinPsim,dx=de<anm,
como queríamos.

Resposta

a) Papprox1,30times10^-3\nb) lang<= x^2rang<==L^2l(tfrac13-118pi^2r)approx32,8;nm^2\nc) integral0^LPsin(x)Psim(x),dx=de<anm

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