Considere um elétron confinado em uma caixa unidimensional entre
e x = 2,000 Å. Suponha que exista 1 milhão desses sistemas, cada um no estado
e estamos medindo a coordenada
do elétron em cada sistema. Quantas vezes um elétron será encontrado entre
e
? Considere o intervalo infinitesimal.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um elétron confinado em uma caixa unidimensional que vai de x = 0 a x = 2.000 Ångströms (Å). Existem 1 milhão desses sistemas, cada um com um elétron no estado fundamental (n = 1). Queremos saber quantas vezes um elétron será encontrado entre 0,600 Å e 0,601 Å quando medirmos a posição x de cada elétron. Para resolver isso, vamos usar conceitos de mecânica quântica, especificamente a função de onda do elétron em uma caixa.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar como é a função de onda de um elétron em uma caixa unidimensional. A função de onda ψₙ(x) para o estado quântico n é dada por:
onde:
- $ L $ é o comprimento da caixa,
- $ n $ é o número quântico (n = 1, 2, 3, …).
Passo 3
No estado fundamental, temos n = 1. Então, a função de onda para n = 1 fica:
Passo 4
A probabilidade de encontrar o elétron em um ponto específico x é dada pelo quadrado da função de onda:
Passo 5
Para encontrar a probabilidade de encontrar o elétron entre x = 0,600 Å e x = 0,601 Å, precisamos calcular:
onde $ \Delta x = 0,001 $ Å é o intervalo considerado.
Passo 6
Sabemos que o comprimento da caixa é $ L = 2.000 $ Å. Substituindo na expressão da densidade de probabilidade:
Passo 7
Agora, substituímos x = 0,600 Å na expressão da probabilidade:
Passo 8
Calculando o argumento do seno:
Passo 9
Para ângulos muito pequenos (como neste caso), podemos usar a aproximação $ \sin(\theta) \approx \theta $. Então:
Passo 10
Substituindo de volta na expressão da probabilidade:
Passo 11
Como temos 1.000.000 (1 milhão) de elétrons, o número total de vezes que um elétron será encontrado nesse intervalo é:
Resposta
Um elétron será encontrado aproximadamente 0,000028 vezes entre 0,600 Å e 0,601 Å. Isso significa que, em 1 milhão de medições, é praticamente improvável que algum elétron seja encontrado nesse intervalo tão pequeno.