Considere um elétron confinado em uma caixa unidimensional entre x=0 e x = 2,000 Å. Suponha que exista 1 milhão desses sistemas, cada um no estado n=1 e estamos medindo a coordenada x do elétron em cada sistema. Quantas vezes um elétron será encontrado entre 0,600 AA e 0,601 AA? Considere o intervalo infinitesimal.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um elétron confinado em uma caixa unidimensional que vai de x = 0 a x = 2.000 Ångströms (Å). Existem 1 milhão desses sistemas, cada um com um elétron no estado fundamental (n = 1). Queremos saber quantas vezes um elétron será encontrado entre 0,600 Å e 0,601 Å quando medirmos a posição x de cada elétron. Para resolver isso, vamos usar conceitos de mecânica quântica, especificamente a função de onda do elétron em uma caixa.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar como é a função de onda de um elétron em uma caixa unidimensional. A função de onda ψₙ(x) para o estado quântico n é dada por:
psin(x) = raiz2L sin(npi xL)
onde:
  • $ L $ é o comprimento da caixa,
  • $ n $ é o número quântico (n = 1, 2, 3, …).

Passo 3

No estado fundamental, temos n = 1. Então, a função de onda para n = 1 fica:
psi1(x) = raiz2L sin(pi xL)

Passo 4

A probabilidade de encontrar o elétron em um ponto específico x é dada pelo quadrado da função de onda:
|psi1(x)|^2 = (raiz2L sin(pi xL))^2 = 2L sin^2(pi xL)

Passo 5

Para encontrar a probabilidade de encontrar o elétron entre x = 0,600 Å e x = 0,601 Å, precisamos calcular:
P = |psi1(x)|^2 De
onde $ \Delta x = 0,001 $ Å é o intervalo considerado.

Passo 6

Sabemos que o comprimento da caixa é $ L = 2.000 $ Å. Substituindo na expressão da densidade de probabilidade:
L = 2.000

Passo 7

Agora, substituímos x = 0,600 Å na expressão da probabilidade:
P = 11000 sin^2(pi times 0,6002000) times 0,001

Passo 8

Calculando o argumento do seno:
theta = pi times 0,6002000 = 0,600pi2000 = 3pi10000 approx 0,000942 radianos

Passo 9

Para ângulos muito pequenos (como neste caso), podemos usar a aproximação $ \sin(\theta) \approx \theta $. Então:
sin(theta) approx theta

Passo 10

Substituindo de volta na expressão da probabilidade:
P approx 11000 times 2.827 times 10^-5 times 0,001 = 2.827 times 10^-11

Passo 11

Como temos 1.000.000 (1 milhão) de elétrons, o número total de vezes que um elétron será encontrado nesse intervalo é:
N = 1.000.000 times 2.827 times 10^-11 approx 2.827 times 10^-5

Resposta

Um elétron será encontrado aproximadamente 0,000028 vezes entre 0,600 Å e 0,601 Å. Isso significa que, em 1 milhão de medições, é praticamente improvável que algum elétron seja encontrado nesse intervalo tão pequeno.

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