Em cada caso mostre que f(x) é uma autofunção do operador A e encontre o autovalor.
A f(x)
(d) dd y x^2 e^6 y

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta nos pede para mostrar que a função $ f(x) = x^{2} e^{6 y} $ é uma autofunção do operador $ \hat{A} = \frac{d}{d y} $ e encontrar o autovalor correspondente. Isso faz parte do conteúdo de álgebra linear, especificamente no estudo de operadores e suas autofunções (ou autovetores). Para resolver, vamos aplicar o operador à função e verificar se o resultado é a função original multiplicada por um número (o autovalor).

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa $ \hat{A} = \frac{d}{d y} $. Esse operador basicamente calcula a derivada da função em relação à variável $ y $. Agora, vamos aplicar $ \hat{A} $ à função $ f(x) = x^{2} e^{6 y} $:
A = dd y

Passo 3

Vamos calcular a derivada:
Como $ x^{2} $ é uma constante em relação a $ y $, a derivada fica:
x^2

Passo 4

Agora, observamos que:
A f(x) = 6 x^2 e^6 y = 6 f(x)
Isso mostra que, ao aplicar o operador $ \hat{A} $ em $ f(x) $, obtemos a função original multiplicada por 6.

Resposta

A função $ f(x) = x^{2} e^{6 y} $ é uma autofunção do operador $ \hat{A} = \frac{d}{d y} $ com o autovalor igual a 6.

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