Em cada caso mostre que
é uma autofunção do operador
e encontre o autovalor.
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(d) |
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta nos pede para mostrar que a função $ f(x) = x^{2} e^{6 y} $ é uma autofunção do operador $ \hat{A} = \frac{d}{d y} $ e encontrar o autovalor correspondente. Isso faz parte do conteúdo de álgebra linear, especificamente no estudo de operadores e suas autofunções (ou autovetores). Para resolver, vamos aplicar o operador à função e verificar se o resultado é a função original multiplicada por um número (o autovalor).
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa $ \hat{A} = \frac{d}{d y} $. Esse operador basicamente calcula a derivada da função em relação à variável $ y $. Agora, vamos aplicar $ \hat{A} $ à função $ f(x) = x^{2} e^{6 y} $:
Passo 3
Vamos calcular a derivada:
Como $ x^{2} $ é uma constante em relação a $ y $, a derivada fica:
Passo 4
Agora, observamos que:
Isso mostra que, ao aplicar o operador $ \hat{A} $ em $ f(x) $, obtemos a função original multiplicada por 6.
Resposta
A função $ f(x) = x^{2} e^{6 y} $ é uma autofunção do operador $ \hat{A} = \frac{d}{d y} $ com o autovalor igual a 6.