Transformar o laplaciano em coordenadas cartesianas para coordenadas esféricas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente transformar o laplaciano das coordenadas cartesianas
para as coordenadas esféricas
. Isso faz parte do estudo de cálculo vetorial, onde a gente aprende a trabalhar com diferentes sistemas de coordenadas. Para resolver isso, vamos precisar conhecer as definições das coordenadas esféricas e como o operador laplaciano se comporta em cada sistema.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o laplaciano em coordenadas cartesianas. O laplaciano, representado por
, é um operador que envolve segundas derivadas parciais. Em coordenadas cartesianas, ele é dado por:
Passo 3
Agora, vamos falar das coordenadas esféricas. Nesse sistema, qualquer ponto no espaço é representado por três coordenadas:
-
: a distância do ponto até a origem. -
: o ângulo polar, que é o ângulo entre o eixo z e a linha que liga a origem ao ponto. -
: o ângulo azimutal, que é o ângulo entre o eixo x e a projeção do ponto no plano xy.
Essas coordenadas são muito úteis para problemas com simetria esférica.
Passo 4
Para transformar o laplaciano, precisamos expressar as derivadas parciais em termos das coordenadas esféricas. Isso envolve usar as relações entre as derivadas em coordenadas cartesianas e esféricas, além do fator de escala que aparece devido à mudança de sistema.
Passo 5
Aplicando todas essas transformações e simplificações, o laplaciano em coordenadas esféricas fica assim:
Resposta
O laplaciano em coordenadas esféricas é dado por: