Transformar o laplaciano em coordenadas cartesianas para coordenadas esféricas.
nabla^2(x, y, z) cdots nabla^2(r, theta, phi)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente transformar o laplaciano das coordenadas cartesianas (x, y, z) para as coordenadas esféricas (r, theta, phi). Isso faz parte do estudo de cálculo vetorial, onde a gente aprende a trabalhar com diferentes sistemas de coordenadas. Para resolver isso, vamos precisar conhecer as definições das coordenadas esféricas e como o operador laplaciano se comporta em cada sistema.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o laplaciano em coordenadas cartesianas. O laplaciano, representado por nabla^2, é um operador que envolve segundas derivadas parciais. Em coordenadas cartesianas, ele é dado por:
nabla^2 = partial^2partial x^2 + partial^2partial y^2 + partial^2partial z^2

Passo 3

Agora, vamos falar das coordenadas esféricas. Nesse sistema, qualquer ponto no espaço é representado por três coordenadas:
  • r: a distância do ponto até a origem.
  • theta: o ângulo polar, que é o ângulo entre o eixo z e a linha que liga a origem ao ponto.
  • phi: o ângulo azimutal, que é o ângulo entre o eixo x e a projeção do ponto no plano xy.
Essas coordenadas são muito úteis para problemas com simetria esférica.

Passo 4

Para transformar o laplaciano, precisamos expressar as derivadas parciais em termos das coordenadas esféricas. Isso envolve usar as relações entre as derivadas em coordenadas cartesianas e esféricas, além do fator de escala que aparece devido à mudança de sistema.

Passo 5

Aplicando todas essas transformações e simplificações, o laplaciano em coordenadas esféricas fica assim:
nabla^2 = 1r^2 partialpartial r( r^2 partialpartial r ) + 1r^2 sin theta partialpartial theta( sin theta partialpartial theta ) + 1r^2 sin^2 theta partial^2partial phi^2

Resposta

O laplaciano em coordenadas esféricas é dado por:
nabla^2 = 1r^2 partialpartial r( r^2 partialpartial r ) + 1r^2 sin theta partialpartial theta( sin theta partialpartial theta ) + 1r^2 sin^2 theta partial^2partial phi^2

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