Considere uma elétron confinado em uma caixa unidimensional de tamanho
localizada a partir da origem. Responda:
Se a partícula está no primeito estado excitado
, qual a probabilidade de encontrá-la entre
e
?
Se a partícula está no primeito estado excitado
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede.
- Dados: a partícula é um elétron confinado numa caixa unidimensional do tipo poço infinito que vai de
até , com . - Condição: a partícula está no primeiro estado excitado, ou seja
. - Pergunta: qual a probabilidade de encontrar a partícula no intervalo
?
Passo 2
Qual é a função de onda estacionária para o poço infinito e por que ela tem essa forma.
- Num poço infinito de
a , as soluções normalizadas das equações de Schrödinger (estacionárias) são:
para
.
- Explicando: o fator
garante normalização (a área de sobre é 1). O seno aparece por causa das condições de contorno (partícula não pode sair do poço), e o argumento vem da quantização de momentos/energias.
Passo 3
Como calcular a probabilidade de encontrar a partícula num intervalo.
- A densidade de probabilidade é
. - A probabilidade procurada é a integral dessa densidade entre
e :
- Simplificando o quadrado:
Passo 4
Resolver a integral usando a identidade trigonométrica.
- Use a identidade
. Aplicando:
- Agora integramos termo a termo:
- Simplificando o primeiro termo:
- O segundo termo vale:
Passo 5
Avaliar para
e concluir.
- Para
temos os argumentos das senos:
- Portanto o segundo termo (o que envolve senos) é zero.
- Assim a probabilidade fica só com o primeiro termo calculado: