Considere uma elétron confinado em uma caixa unidimensional de tamanho L=10 \mathrm{~nm} localizada a partir da origem. Responda:
Se a partícula está no primeito estado excitado (n=2), qual a probabilidade de encontrá-la entre x=L / 2 e x=3 L / 4 ?

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados: a partícula é um elétron confinado numa caixa unidimensional do tipo poço infinito que vai de x=0 até x=L, com L=10\\ \mathrm{nm}.
  • Condição: a partícula está no primeiro estado excitado, ou seja n=2.
  • Pergunta: qual a probabilidade de encontrar a partícula no intervalo x\in\bigl[L/2,\;3L/4\bigr]?

Passo 2

Qual é a função de onda estacionária para o poço infinito e por que ela tem essa forma.
  • Num poço infinito de 0 a L, as soluções normalizadas das equações de Schrödinger (estacionárias) são:
\psi_n(x)=\sqrt{\frac{2}{L}}\sin\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right),
para n=1,2,3,\dots.
  • Explicando: o fator \sqrt{2/L} garante normalização (a área de |\psi_n|^2 sobre [0,L] é 1). O seno aparece por causa das condições de contorno \psi(0)=\psi(L)=0 (partícula não pode sair do poço), e o argumento \dfrac{n\pi x}{L} vem da quantização de momentos/energias.

Passo 3

Como calcular a probabilidade de encontrar a partícula num intervalo.
  • A densidade de probabilidade é |\psi_n(x)|^2.
  • A probabilidade procurada é a integral dessa densidade entre a=L/2 e b=3L/4:
P=\int_{L/2}^{3L/4} |\psi_n(x)|^2\,dx =\int_{L/2}^{3L/4} \left(\sqrt{\frac{2}{L}}\sin\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\right)^{\!2} dx.
  • Simplificando o quadrado:
P=\frac{2}{L}\int_{L/2}^{3L/4}\sin^2\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\,dx.

Passo 4

Resolver a integral usando a identidade trigonométrica.
  • Use a identidade \sin^2\theta=\dfrac{1-\cos(2\theta)}{2}. Aplicando:
P=\frac{2}{L}\int_{L/2}^{3L/4}\frac{1-\cos\!\bigl(2\cdot\dfrac{n\pi x}{L}\bigr)}{2}\,dx =\frac{1}{L}\int_{L/2}^{3L/4}\biggl(1-\cos\!\left(\frac{2n\pi x}{L}\right)\biggr)\,dx.
  • Agora integramos termo a termo:
P=\frac{1}{L}\Biggl[\;x\;\Biggr]_{L/2}^{3L/4} -\frac{1}{L}\Biggl[\frac{L}{2n\pi}\sin\!\left(\frac{2n\pi x}{L}\right)\Biggr]_{L/2}^{3L/4}.
  • Simplificando o primeiro termo:
\frac{1}{L}\Bigl(x\Bigr)_{L/2}^{3L/4}=\frac{1}{L}\left(\frac{3L}{4}-\frac{L}{2}\right)=\frac{1}{L}\cdot\frac{L}{4}=\frac{1}{4}.
  • O segundo termo vale:
\frac{1}{L}\cdot\frac{L}{2n\pi}\Bigl(\sin\!\left(\frac{2n\pi \cdot 3L/4}{L}\right)-\sin\!\left(\frac{2n\pi \cdot L/2}{L}\right)\Bigr) =\frac{1}{2n\pi}\Bigl(\sin\!\left(\tfrac{3n\pi}{2}\right)-\sin\!\left(n\pi\right)\Bigr).

Passo 5

Avaliar para n=2 e concluir.
  • Para n=2 temos os argumentos das senos:
\sin\!\left(n\pi\right)=\sin(2\pi)=0, \qquad \sin\!\left(\tfrac{3n\pi}{2}\right)=\sin\!\left(\tfrac{3\cdot2\pi}{2}\right)=\sin(3\pi)=0.
  • Portanto o segundo termo (o que envolve senos) é zero.
  • Assim a probabilidade fica só com o primeiro termo calculado:
P=\frac{1}{4}.

Resposta

1/4 = 0{,}25 = 25\%

Exercícios relacionados