Considere uma elétron confinado em uma caixa unidimensional de tamanho L=10 \mathrm{~nm} localizada a partir da origem. Responda:
Qual o valor esperado da posição do elétron para os estados fundamental (n=1) e primeiro excitado (n=2) ?
Passo 1
O enunciado pede o valor esperado da posição de um elétron confinado em uma caixa unidimensional que vai de x=0 até x=L, com L=10\\ \mathrm{nm}. As perguntas explícitas são:
Qual o valor esperado da posição para o estado fundamental (n=1)?
Qual o valor esperado da posição para o primeiro excitado (n=2)?
Informações fornecidas:
O poço infinito está localizado no intervalo 0\le x\le L.
O comprimento da caixa é L=10\\ \mathrm{nm}.
Queremos \langle x\rangle para n=1 e n=2.
Passo 2
Qual é a forma da função de onda estacionária dentro da caixa e por quê.
Para um poço infinito unidimensional com paredes em x=0 e x=L as autofunções (estados estacionários) que satisfazem as condições de contorno \psi(0)=\psi(L)=0 e que estão normalizadas são:
onde n=1,2,3,\dots.
Explicação rápida e didática: o fator \sqrt{2/L} vem da normalização (garante \int_0^L |\psi_n|^2 dx=1); a função \sin aparece porque é a solução que zera nas paredes; o índice n conta as “meias-ondas” dentro da caixa.
Passo 3
Definição do valor esperado e substituição da função de onda.
Conclui-se que para qualquer estado estacionário de índice inteiro n dentro do poço entre 0 e L vale
\langle x\rangle_n=\frac{L}{2}.
Isto é intuitivo: a densidade de probabilidade |\psi_n(x)|^2 é simétrica em torno do centro do poço x=L/2, então o valor médio da posição é o centro da caixa.