Uma partícula de massa m se move em uma dimensão, sob ação de um potencial unidimensional V(x). Suponha que a partícula está no autoestado
\psi(x)=\left(\frac{\gamma^{2}}{\pi}\right)^{\frac{1}{4}} \exp \left(-\frac{1}{2} \gamma^{2} x^{2}\right)
com energia E=\frac{\hbar^{2} \gamma^{2}}{2 m}. Encontre o potencial V(x) sob o qual a partícula está submetida.

Passo 1

O enunciado dá a função de onda (autofunção)
\psi(x)=\left(\frac{\gamma^{2}}{\pi}\right)^{\frac{1}{4}} \exp\!\left(-\frac{1}{2}\gamma^{2}x^{2}\right)
e a energia associada
E=\frac{\hbar^{2}\gamma^{2}}{2m}.
A tarefa é encontrar o potencial unidimensional V(x) tal que \psi(x) seja um autoestado da equação de Schrödinger independente do tempo com energia E.

Passo 2

Vamos usar a equação de Schrödinger independente do tempo em representação de posição. A equação é
-\frac{\hbar^{2}}{2m}\,\psi''(x)+V(x)\psi(x)=E\psi(x).
Reorganizando para obter V(x) em função de \psi e E obtemos a fórmula prática
V(x)=E+\frac{\hbar^{2}}{2m}\,\frac{\psi''(x)}{\psi(x)}.
Essa fórmula vem de isolar V(x) na equação acima: multiplicar por \frac{1}{\psi} e mover o termo cinético para o lado direito.

Passo 3

Calcular \psi'(x) e \psi''(x). Escrevendo \psi(x)=A e^{-\frac{1}{2}\gamma^{2}x^{2}} com A=\left(\dfrac{\gamma^{2}}{\pi}\right)^{1/4} (a constante de normalização não afetará \psi''/\psi), temos:
Derivada primeira:
\psi'(x)=A\cdot\frac{d}{dx}\! \left(e^{-\frac{1}{2}\gamma^{2}x^{2}}\right) = A\left(-\gamma^{2}x\right)e^{-\frac{1}{2}\gamma^{2}x^{2}} =-\gamma^{2}x\,\psi(x).
Derivada segunda: derivando \psi'(x)=-\gamma^{2}x\,\psi(x),
\psi''(x)=-\gamma^{2}\psi(x)-\gamma^{2}x\,\psi'(x).
Substituindo \psi'(x)=-\gamma^{2}x\,\psi(x) dentro:
\psi''(x)=-\gamma^{2}\psi(x)-\gamma^{2}x\big(-\gamma^{2}x\,\psi(x)\big) =-\gamma^{2}\psi(x)+\gamma^{4}x^{2}\psi(x).

Passo 4

Agora escrevemos a razão \dfrac{\psi''(x)}{\psi(x)}. Dividindo a expressão anterior por \psi(x) obtemos
\frac{\psi''(x)}{\psi(x)}=\gamma^{4}x^{2}-\gamma^{2}.

Passo 5

Substituímos \dfrac{\psi''}{\psi} e E na fórmula para V(x):
V(x)=E+\frac{\hbar^{2}}{2m}\big(\gamma^{4}x^{2}-\gamma^{2}\big).
Lembrando que E=\dfrac{\hbar^{2}\gamma^{2}}{2m}, somamos os termos constantes:
V(x)=\frac{\hbar^{2}\gamma^{2}}{2m}+\frac{\hbar^{2}}{2m}\big(\gamma^{4}x^{2}-\gamma^{2}\big) =\frac{\hbar^{2}}{2m}\gamma^{4}x^{2}.
Portanto
V(x)=\frac{\hbar^{2}\gamma^{4}}{2m}\,x^{2}.
Comentário físico rápido e encorajador: esse é o potencial harmônico quadrático. Escrevendo na forma usual V(x)=\tfrac{1}{2}m\omega^{2}x^{2}, obtém-se \omega=\dfrac{\hbar\gamma^{2}}{m}, e o valor de energia dado coincide com a energia do estado fundamental \tfrac{1}{2}\hbar\omega, então tudo é consistente.

Resposta

V(x)=\frac{\hbar^{2}\gamma^{4}}{2m}\,x^{2}.

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