Uma partícula de massa
se move em uma dimensão, sob ação de um potencial unidimensional
. Suponha que a partícula está no autoestado
com energia
. Encontre o potencial
sob o qual a partícula está submetida.
Passo 1
O enunciado dá a função de onda (autofunção)
e a energia associada
A tarefa é encontrar o potencial unidimensional
tal que
seja um autoestado da equação de Schrödinger independente do tempo com energia
.
Passo 2
Vamos usar a equação de Schrödinger independente do tempo em representação de posição. A equação é
Reorganizando para obter
em função de
e
obtemos a fórmula prática
Essa fórmula vem de isolar
na equação acima: multiplicar por
e mover o termo cinético para o lado direito.
Passo 3
Calcular
e
. Escrevendo
com
(a constante de normalização não afetará
), temos:
Derivada primeira:
Derivada segunda: derivando
,
Substituindo
dentro:
Passo 4
Agora escrevemos a razão
. Dividindo a expressão anterior por
obtemos
Passo 5
Substituímos
e
na fórmula para
:
Lembrando que
, somamos os termos constantes:
Portanto
Comentário físico rápido e encorajador: esse é o potencial harmônico quadrático. Escrevendo na forma usual
, obtém-se
, e o valor de energia dado coincide com a energia do estado fundamental
, então tudo é consistente.