Considere uma partícula de massa m confinada em um poço quântico infinito unidimensional de largura a. O autoestado de energia \Psi_{n}(x, t) é dado por:
\Psi_{n}(x, t)=\sqrt{\frac{2}{a}} \sin \left(\frac{n \pi x}{a}\right) e^{-i E_{n} t / \hbar}
Determine o menor período T_{n} associado ao estado n tal que:
\Psi_{n}\left(x, t+T_{n}\right)=\Psi_{n}(x, t)
para qualquer instante t.

Passo 1

O enunciado nos dá o autoestado de energia
\Psi_{n}(x,t)=\sqrt{\frac{2}{a}}\sin\!\left(\frac{n\pi x}{a}\right)e^{-iE_{n}t/\hbar},
de uma partícula de massa m num poço infinito de largura a. A pergunta é: determinar o menor período T_{n} tal que
\Psi_{n}(x,t+T_{n})=\Psi_{n}(x,t)\quad\text{para qualquer }t.
Informações relevantes fornecidas:
  • A dependência temporal está totalmente na fase complexa e^{-iE_{n}t/\hbar}.
  • Precisamos de igualdade do próprio \Psi_{n} (não apenas igualdade de probabilidades).

Passo 2

Observar que a parte espacial \sqrt{2/a}\sin\!\left(\dfrac{n\pi x}{a}\right) não depende de t. Portanto a condição
\Psi_{n}(x,t+T_{n})=\Psi_{n}(x,t)
é equivalente à condição para o fator temporal:
e^{-iE_{n}(t+T_{n})/\hbar}=e^{-iE_{n}t/\hbar}.
Cancelando o fator e^{-iE_{n}t/\hbar} (válido para qualquer t) obtemos a condição em T_{n}:
e^{-iE_{n}T_{n}/\hbar}=1.
Explanação didática rápida: a função exponencial complexa e^{i\theta} assume valor 1 exatamente quando \theta é um múltiplo inteiro de 2\pi. Aqui \theta=-E_{n}T_{n}/\hbar.

Passo 3

A condição e^{-iE_{n}T_{n}/\hbar}=1 implica
-\frac{E_{n}T_{n}}{\hbar}=2\pi k\quad\text{com }k\in\mathbb{Z}.
Multiplicando por -1 e isolando T_{n},
\frac{E_{n}T_{n}}{\hbar}=2\pi k \quad\Rightarrow\quad T_{n}=\frac{2\pi\hbar}{E_{n}}\,k.
Como queremos o menor período positivo, escolhemos k=1. Logo a forma básica é
T_{n}=\frac{2\pi\hbar}{E_{n}}.
Comentário didático: se a questão pedisse apenas que os observáveis (como densidade de probabilidade) repetissem, bastaria e^{-iE_{n}T_{n}/\hbar} igual a uma fase global qualquer; mas aqui exige-se igualdade estrita do autovetor complexo, então a fase deve ser exatamente 1.

Passo 4

Agora precisamos do valor de E_{n} para o poço infinito. Do problema de autovalores da equação de Schrödinger independente do tempo, a solução física é
\psi_{n}(x)=\sqrt{\frac{2}{a}}\sin\!\left(\frac{n\pi x}{a}\right),
com as constantes de onda k quantizadas por k=\dfrac{n\pi}{a} (resultante das condições de contorno \psi(0)=\psi(a)=0). A energia associada é
E_{n}=\frac{\hbar^{2}k^{2}}{2m}=\frac{\hbar^{2}}{2m}\left(\frac{n\pi}{a}\right)^{2}=\frac{n^{2}\pi^{2}\hbar^{2}}{2m a^{2}}.
Aqui n é um inteiro positivo ( n=1,2,3,\dots), m é a massa e a a largura do poço.

Passo 5

Substituindo E_{n} em T_{n}=\dfrac{2\pi\hbar}{E_{n}} e simplificando passo a passo:
T_{n}=\frac{2\pi\hbar}{\dfrac{n^{2}\pi^{2}\hbar^{2}}{2m a^{2}}} =2\pi\hbar\cdot\frac{2m a^{2}}{n^{2}\pi^{2}\hbar^{2}}.
Agrupando termos semelhantes:
T_{n}=\frac{4\pi m a^{2}\hbar}{n^{2}\pi^{2}\hbar^{2}} =\frac{4 m a^{2}}{n^{2}\pi\hbar}.
Uma forma alternativa (equivalente) é escrever
T_{n}=\frac{2\pi\hbar}{E_{n}}=\frac{4 m a^{2}}{\pi\hbar}\cdot\frac{1}{n^{2}},
mostrando que o período decresce como 1/n^{2}.

Resposta

T_{n}=\frac{4 m a^{2}}{n^{2}\pi\hbar}

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