Considere uma partícula de massa
confinada em um poço quântico infinito unidimensional de largura
. O autoestado de energia
é dado por:
Determine o menor período
associado ao estado
tal que:
para qualquer instante
.
Passo 1
O enunciado nos dá o autoestado de energia
de uma partícula de massa
num poço infinito de largura
. A pergunta é: determinar o menor período
tal que
Informações relevantes fornecidas:
- A dependência temporal está totalmente na fase complexa
. - Precisamos de igualdade do próprio
(não apenas igualdade de probabilidades).
Passo 2
Observar que a parte espacial
não depende de
. Portanto a condição
é equivalente à condição para o fator temporal:
Cancelando o fator
(válido para qualquer
) obtemos a condição em
:
Explanação didática rápida: a função exponencial complexa
assume valor 1 exatamente quando
é um múltiplo inteiro de
. Aqui
.
Passo 3
A condição
implica
Multiplicando por
e isolando
,
Como queremos o menor período positivo, escolhemos
. Logo a forma básica é
Comentário didático: se a questão pedisse apenas que os observáveis (como densidade de probabilidade) repetissem, bastaria
igual a uma fase global qualquer; mas aqui exige-se igualdade estrita do autovetor complexo, então a fase deve ser exatamente
.
Passo 4
Agora precisamos do valor de
para o poço infinito. Do problema de autovalores da equação de Schrödinger independente do tempo, a solução física é
com as constantes de onda
quantizadas por
(resultante das condições de contorno
). A energia associada é
Aqui
é um inteiro positivo (
),
é a massa e
a largura do poço.
Passo 5
Substituindo
em
e simplificando passo a passo:
Agrupando termos semelhantes:
Uma forma alternativa (equivalente) é escrever
mostrando que o período decresce como
.