Considere um elétron confinado em um poço quadrado com largura igual a 0,5 \mathrm{~nm}. Supondo que o poço possua profundidade infinita, calcule a energia do nível fundamental.

Passo 1

O enunciado fala de um elétron confinado num poço quadrado de profundidade infinita e largura L=0,5\\ \mathrm{nm}. Queremos a energia do nível fundamental, que é um problema padrão de Mecânica Quântica (“partícula na caixa”). Vamos usar a fórmula dos níveis de energia para um poço infinito.

Passo 2

Em um poço infinito de largura L, os níveis de energia são dados por
E_n = \frac{n^2 \pi^2 \hbar^2}{2 m L^2},
onde n é o número quântico (para o nível fundamental, n=1), \hbar é a constante de Planck reduzida e m a massa do elétron.

Passo 3

Substituindo n=1, \hbar = 1{,}055\times10^{-34}\\ \mathrm{J\,s}, m = 9{,}11\times10^{-31}\\ \mathrm{kg} e L = 0{,}5\times10^{-9}\\ \mathrm{m}, obtemos
E_1 = \frac{\pi^2\,(1{,}055\times10^{-34})^2}{2\,(9{,}11\times10^{-31})\,(0{,}5\times10^{-9})^2} \approx 2{,}4\times10^{-19}\\ \mathrm{J}.

Passo 4

Para interpretar melhor, convertemos para elétron-volt usando 1\\ \mathrm{eV}=1{,}602\times10^{-19}\\ \mathrm{J}:
E_1 \approx \frac{2{,}4\times10^{-19}\\ \mathrm{J}}{1{,}602\times10^{-19}\\ \mathrm{J/eV}} \approx 1{,}5\\ \mathrm{eV}.

Resposta

A energia do nível fundamental é aproximadamente
2{,}4\times10^{-19}\\ \mathrm{J}
ou
1{,}5\\ \mathrm{eV}.

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