A incerteza da posição de uma partícula com massa de repouso m é igual a \Delta x. Suponha que a velocidade v da partícula seja muito menor do que a velocidade da luz. Determine a incerteza de sua velocidade.

Passo 1

O enunciado nos dá a incerteza de posição \Delta x de uma partícula de massa de repouso m em regime não-relativístico ( v\ll c) e pede a incerteza em sua velocidade \Delta v. Para isso vamos usar o princípio da incerteza de Heisenberg e a relação clássica entre momento e velocidade.

Passo 2

O princípio da incerteza de Heisenberg afirma que
\Delta x\,\Delta p \gtrsim \frac{\hbar}{2},
onde \Delta p é a incerteza no momento linear e \hbar = \frac{h}{2\pi} é a constante de Planck reduzida.

Passo 3

Para estimar a menor incerteza possível, assumimos a igualdade mínima
\Delta p \approx \frac{\hbar}{2\,\Delta x}.

Passo 4

No regime não-relativístico vale a relação
p = m\,v,
que leva, para as incertezas, a
\Delta p = m\,\Delta v.

Passo 5

Isolando \Delta v na relação anterior e substituindo \Delta p encontramos
\Delta v = \frac{\Delta p}{m} \approx \frac{1}{m}\,\frac{\hbar}{2\,\Delta x} = \frac{\hbar}{2\,m\,\Delta x}.

Resposta

\Delta v \approx \frac{\hbar}{2\,m\,\Delta x}.

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