Suponha que você possa modelar um núcleo imaginando que ele seja uma caixa com largura b=6,4 \times 10^{-15} \mathrm{~m}. Estime a energia de um nêutron confinado no núcleo supondo que ele esteja no seu nível de energia mais baixo.

Passo 1

O enunciado pede para estimar a energia de um nêutron confinado no núcleo, modelado como uma partícula num poço infinito unidimensional de largura b=6,4\times10^{-15} m. O conteúdo teórico necessário é o modelo de partícula num poço infinito (“particle in a box”) da Mecânica Quântica.

Passo 2

No modelo do poço infinito unidimensional, os níveis de energia permitidos vêm da solução da equação de Schr"odinger com condições de contorno que anulam a função de onda nas paredes do poço. Para o nível fundamental ( n=1), a energia é
E_1 = \frac{\hbar^2\pi^2}{2\,m\,b^2},
onde \hbar é a constante de Dirac reduzida e m é a massa do nêutron.

Passo 3

Vamos escrever explicitamente os valores:
\hbar = 1{,}055\times10^{-34}\,\mathrm{J\cdot s}, \quad m = 1{,}675\times10^{-27}\,\mathrm{kg}, \quad b = 6{,}4\times10^{-15}\,\mathrm{m}.
Substituindo em
E_1 = \frac{(1{,}055\times10^{-34})^2 \,\pi^2}{2\,(1{,}675\times10^{-27})\,(6{,}4\times10^{-15})^2},
calculamos o valor em joules.

Passo 4

Primeiro calculamos numericamente o numerador e o denominador:
\hbar^2\pi^2 \approx 1{,}055^2\times10^{-68}\times\pi^2 \approx 1{,}10\times10^{-67}\,\mathrm{J^2\!s^2},
2\,m\,b^2 \approx 2\times1{,}675\times10^{-27}\times(6{,}4\times10^{-15})^2 \approx 1{,}37\times10^{-55}\,\mathrm{kg\;m^2}.
Dividindo,
E_1 \approx \frac{1{,}10\times10^{-67}}{1{,}37\times10^{-55}} \approx 8,0\times10^{-13}\,\mathrm{J}.

Passo 5

Para converter para elétron-volts, usamos 1\,\mathrm{eV}=1,602\times10^{-19}\,\mathrm{J}:
E_1 \approx \frac{8,0\times10^{-13}}{1,602\times10^{-19}} \approx 5,0\times10^{6}\,\mathrm{eV} =5,0\,\mathrm{MeV}.

Resposta

A energia do nêutron no nível mais baixo vale aproximadamente 5{,}0 MeV.

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