Considere um elétron estacionário como uma carga pontual e determine a densidade de energia
do campo elétrico criado pela partícula a
de distância
Passo 1
O que o enunciado pede e os dados que temos:
- Pede: determinar a densidade de energia
do campo elétrico criado por um elétron tratado como carga pontual, no ponto que está a da carga. - Dados fornecidos:
- A carga é a do elétron em módulo:
. - A distância ao ponto onde se calcula a densidade é
.
- A carga é a do elétron em módulo:
- Constantes físicas que vamos usar (valores em SI que aparecem naturalmente nas fórmulas):
- Permitividade do vácuo:
.
- Permitividade do vácuo:
- Objetivo final: calcular numericamente
em unidades de energia por volume ( ).
Passo 2
Fórmula da densidade de energia do campo elétrico e explicação do que cada símbolo significa.
- A densidade de energia elétrica no vácuo é dada por
Aqui:
-
é a densidade de energia elétrica no ponto considerado (unidade ); -
é a permitividade do vácuo (unidade ); -
é a intensidade do campo elétrico no ponto (unidade ).
Explicação curta (intuitiva):mede quanta energia está armazenada por unidade de volume no campo elétrico; ela cresce como o quadrado do módulo do campo .
Passo 3
Campo elétrico de uma carga pontual e definição das constantes usadas.
- O campo elétrico a uma distância
de uma carga pontual tem módulo
Aqui
é a constante de Coulomb (às vezes chamada
) e tem unidade
.
- Substituindo essa expressão de
na fórmula de teremos uma expressão em função de , e apenas — isso é prático porque sabemos e .
Passo 4
Inserindo
em
e simplificando algebricamente (passo a passo).
- Começamos com
- Substituindo
obtemos
- Desenvolvendo o quadrado:
- Agora simplificamos um fator
no numerador com um dos do denominador:
- Reescrevendo
e juntando os fatores:
Essa é uma forma compacta conveniente para calcular numericamente
.
Passo 5
Substituição numérica (mostrar contas detalhadas, sem pular etapas).
- Primeiro escrever os valores numéricos em notação científica:
-
. -
. -
.
-
- Calcular
:
- Calcular
:
- Calcular o denominador numérico
. Primeiro :
Agora multiplicar por
:
Finalmente multiplicar por
:
- Agora a razão:
- Dividindo os coeficientes e subtraindo expoentes:
Logo
Passo 6
Interpretação curta e encorajamento.
- Resultado: a densidade de energia do campo elétrico do elétron a
é extremamente grande: da ordem de . Isso só mostra que campos elétricos muito intensos (próximos a cargas puntuais) armazenam muita energia por unidade de volume. - Dica para prova: memorize a fórmula
e a expressão do campo de uma carga pontual . Substituir e simplificar é um procedimento direto — faça passo a passo como fiz acima para evitar erros aritméticos.