Considere um elétron estacionário como uma carga pontual e determine a densidade de energia u do campo elétrico criado pela partícula a 1,00 \mathrm{pm} de distância

Passo 1

O que o enunciado pede e os dados que temos:
  • Pede: determinar a densidade de energia u do campo elétrico criado por um elétron tratado como carga pontual, no ponto que está a 1{,}00\\ \mathrm{pm} da carga.
  • Dados fornecidos:
    • A carga é a do elétron em módulo: q = e = 1{,}602176634\times10^{-19}\\ \mathrm{C}.
    • A distância ao ponto onde se calcula a densidade é r = 1{,}00\\ \mathrm{pm} = 1{,}00\times10^{-12}\\ \mathrm{m}.
  • Constantes físicas que vamos usar (valores em SI que aparecem naturalmente nas fórmulas):
    • Permitividade do vácuo: \varepsilon_0 = 8{,}8541878128\times10^{-12}\\ \mathrm{F\,m^{-1}}.
  • Objetivo final: calcular numericamente u em unidades de energia por volume ( \mathrm{J\,m^{-3}}).

Passo 2

Fórmula da densidade de energia do campo elétrico e explicação do que cada símbolo significa.
  • A densidade de energia elétrica no vácuo é dada por
u = \frac{1}{2}\varepsilon_0 E^2.
Aqui:
  • u é a densidade de energia elétrica no ponto considerado (unidade \mathrm{J\,m^{-3}});
  • \varepsilon_0 é a permitividade do vácuo (unidade \mathrm{F\,m^{-1}}=\mathrm{C^2\,N^{-1}\,m^{-2}});
  • E é a intensidade do campo elétrico no ponto (unidade \mathrm{N\,C^{-1}}=\mathrm{V\,m^{-1}}).
    Explicação curta (intuitiva): u mede quanta energia está armazenada por unidade de volume no campo elétrico; ela cresce como o quadrado do módulo do campo E.

Passo 3

Campo elétrico de uma carga pontual e definição das constantes usadas.
  • O campo elétrico a uma distância r de uma carga pontual q tem módulo
E = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{|q|}{r^2}.
Aqui \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0} é a constante de Coulomb (às vezes chamada k) e tem unidade \mathrm{N\,m^2\,C^{-2}}.
  • Substituindo essa expressão de E na fórmula de u teremos uma expressão em função de q, \varepsilon_0 e r apenas — isso é prático porque sabemos q e r.

Passo 4

Inserindo E em u e simplificando algebricamente (passo a passo).
  • Começamos com
u = \frac{1}{2}\varepsilon_0 E^2.
  • Substituindo E = \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{|q|}{r^2} obtemos
u = \frac{1}{2}\varepsilon_0\left(\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q}{r^2}\right)^2.
  • Desenvolvendo o quadrado:
u = \frac{1}{2}\varepsilon_0\cdot\frac{1}{(4\pi)^2\varepsilon_0^2}\cdot\frac{q^2}{r^4}.
  • Agora simplificamos um fator \varepsilon_0 no numerador com um dos \varepsilon_0^2 do denominador:
u = \frac{q^2}{2(4\pi)^2\varepsilon_0\,r^4}.
  • Reescrevendo (4\pi)^2 = 16\pi^2 e juntando os fatores:
u = \frac{q^2}{32\pi^2\varepsilon_0\,r^4}.
Essa é uma forma compacta conveniente para calcular numericamente u.

Passo 5

Substituição numérica (mostrar contas detalhadas, sem pular etapas).
  • Primeiro escrever os valores numéricos em notação científica:
    • q = 1{,}602176634\times10^{-19}\\ \mathrm{C}.
    • \varepsilon_0 = 8{,}8541878128\times10^{-12}\\ \mathrm{F\,m^{-1}}.
    • r = 1{,}00\times10^{-12}\\ \mathrm{m}.
  • Calcular q^2:
q^2 = (1{,}602176634\times10^{-19})^2 = 2{,}566969966\times10^{-38}\\ \mathrm{C^2}.
  • Calcular r^4:
r^4 = (1{,}00\times10^{-12})^4 = 1{,}00\times10^{-48}\\ \mathrm{m^4}.
  • Calcular o denominador numérico 32\pi^2\varepsilon_0\,r^4. Primeiro 32\pi^2:
32\pi^2 \approx 315{,}8273408.
Agora multiplicar por \varepsilon_0:
315{,}8273408\times 8{,}8541878128\times10^{-12} \approx 2{,}796394\times10^{-9}.
Finalmente multiplicar por r^4 = 1{,}00\times10^{-48}:
32\pi^2\varepsilon_0\,r^4 \approx 2{,}796394\times10^{-9}\times10^{-48} = 2{,}796394\times10^{-57}.
  • Agora a razão:
u = \frac{q^2}{32\pi^2\varepsilon_0\,r^4} \approx \frac{2{,}566969966\times10^{-38}}{2{,}796394\times10^{-57}}.
  • Dividindo os coeficientes e subtraindo expoentes:
\frac{2{,}566969966}{2{,}796394}\approx 0{,}9180, \qquad 10^{-38}/10^{-57}=10^{19}.
Logo
u \approx 0{,}9180\times10^{19}\\ \mathrm{J\,m^{-3}} = 9{,}18\times10^{18}\\ \mathrm{J\,m^{-3}}.

Passo 6

Interpretação curta e encorajamento.
  • Resultado: a densidade de energia do campo elétrico do elétron a 1{,}00\\ \mathrm{pm} é extremamente grande: da ordem de 10^{19}\\ \mathrm{J\,m^{-3}}. Isso só mostra que campos elétricos muito intensos (próximos a cargas puntuais) armazenam muita energia por unidade de volume.
  • Dica para prova: memorize a fórmula u=\tfrac{1}{2}\varepsilon_0 E^2 e a expressão do campo de uma carga pontual E=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{q}{r^2}. Substituir e simplificar é um procedimento direto — faça passo a passo como fiz acima para evitar erros aritméticos.

Resposta

\,u \approx 9{,}18\times10^{18}\\ \mathrm{J\,m^{-3}}

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