Considere um elétron estacionário como uma carga pontual e determine a densidade de energia
do campo elétrico criado pela partícula
Qual é o limite de
quando a distância tende a zero?
Qual é o limite de
Passo 1
O problema pede duas coisas claras:
- Determinar a densidade de energia
do campo elétrico criado por um elétron tratado como carga pontual (ou seja, expressão de em função da distância ao elétron). - Calcular o limite de
quando a distância tende a zero ( ).
Informações fornecidas / assumidas:
- A partícula é um elétron tratado como carga pontual localizada na origem, com carga
(vou trabalhar com o módulo quando fizer quadrados). - O meio é o vácuo, com permissividade elétrica
. - A distância ao elétron é
.
Passo 2
Vamos lembrar a fórmula física que relaciona o campo elétrico à densidade de energia armazenada no campo. A densidade de energia eletrostática (energia por unidade de volume) no vácuo é dada por:
Explicando cada termo:
-
é a densidade de energia (J·m^{-3}), ou seja, quanta energia há por metro cúbico no campo elétrico. -
é a permissividade do vácuo (constante física). -
é o módulo do campo elétrico naquele ponto.
Essa fórmula vem da teoria eletrostática linear no vácuo e pode ser entendida como a energia armazenada por unidade de volume associada à intensidade do campo elétrico.
Passo 3
Agora precisamos do módulo do campo elétrico gerado por uma carga pontual. Pela lei de Coulomb, para uma carga
localizada na origem, o campo em distância
tem módulo
Explicando:
-
é o valor absoluto da carga (para o elétron usamos ). - A direção é radial (saindo da carga positiva ou apontando para a carga negativa), mas aqui só precisamos do módulo
porque a densidade de energia usa .
Passo 4
Substituímos
na fórmula de
e simplificamos passo a passo.
Primeiro escrevemos
:
Agora multiplicamos por
:
Simplificando os fatores com
:
Portanto a expressão final (para carga geral
) fica
Para o elétron,
e
, então
Opções alternativas de escrita (equivalentes):
onde
é a constante eletrostática.
Passo 5
Agora o comportamento quando
. A expressão obtida é
Como
diverge para
quando
, concluímos que
Interpretação física curta (pra não assustar): isso significa que, no modelo clássico da carga pontual, a densidade de energia do campo fica arbitrariamente grande perto da carga — é a famosa divergência do campo no ponto da carga. Em teoria real (física quântica / modelos estendidos de carga) esse problema é tratado de outras formas, mas no eletromagnetismo clássico a densidade diverge.