Considere um elétron estacionário como uma carga pontual e determine a densidade de energia u do campo elétrico criado pela partícula
Qual é o limite de u quando a distância tende a zero?

Passo 1

O problema pede duas coisas claras:
  • Determinar a densidade de energia u do campo elétrico criado por um elétron tratado como carga pontual (ou seja, expressão de u em função da distância r ao elétron).
  • Calcular o limite de u quando a distância tende a zero ( r\to0).
Informações fornecidas / assumidas:
  • A partícula é um elétron tratado como carga pontual localizada na origem, com carga q=-e (vou trabalhar com o módulo e quando fizer quadrados).
  • O meio é o vácuo, com permissividade elétrica \varepsilon_0.
  • A distância ao elétron é r\ge0.

Passo 2

Vamos lembrar a fórmula física que relaciona o campo elétrico à densidade de energia armazenada no campo. A densidade de energia eletrostática (energia por unidade de volume) no vácuo é dada por:
u=\tfrac{1}{2}\varepsilon_0 E^2.
Explicando cada termo:
  • u é a densidade de energia (J·m^{-3}), ou seja, quanta energia há por metro cúbico no campo elétrico.
  • \varepsilon_0 é a permissividade do vácuo (constante física).
  • E é o módulo do campo elétrico \mathbf{E} naquele ponto.
    Essa fórmula vem da teoria eletrostática linear no vácuo e pode ser entendida como a energia armazenada por unidade de volume associada à intensidade do campo elétrico.

Passo 3

Agora precisamos do módulo do campo elétrico gerado por uma carga pontual. Pela lei de Coulomb, para uma carga q localizada na origem, o campo em distância r tem módulo
E(r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{|q|}{r^2}.
Explicando:
  • |q| é o valor absoluto da carga (para o elétron usamos |q|=e).
  • A direção é radial (saindo da carga positiva ou apontando para a carga negativa), mas aqui só precisamos do módulo E porque a densidade de energia usa E^2.

Passo 4

Substituímos E(r) na fórmula de u e simplificamos passo a passo.
Primeiro escrevemos E^2:
E(r)^2=\left(\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{|q|}{r^2}\right)^2 =\frac{1}{(4\pi\varepsilon_0)^2}\frac{q^2}{r^4}.
Agora multiplicamos por \tfrac{1}{2}\varepsilon_0:
u(r)=\tfrac{1}{2}\varepsilon_0 E(r)^2 =\tfrac{1}{2}\varepsilon_0\cdot\frac{1}{(4\pi\varepsilon_0)^2}\frac{q^2}{r^4}.
Simplificando os fatores com \varepsilon_0:
\tfrac{1}{2}\varepsilon_0\cdot\frac{1}{(4\pi\varepsilon_0)^2} =\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{16\pi^2}\cdot\frac{\varepsilon_0}{\varepsilon_0^2} =\frac{1}{32\pi^2}\cdot\frac{1}{\varepsilon_0}.
Portanto a expressão final (para carga geral q) fica
u(r)=\frac{q^2}{32\pi^2\varepsilon_0}\,\frac{1}{r^4}.
Para o elétron, q=-e e q^2=e^2, então
u(r)=\frac{e^2}{32\pi^2\varepsilon_0}\,\frac{1}{r^4}.
Opções alternativas de escrita (equivalentes):
u(r)=\tfrac{1}{2}\varepsilon_0\left(\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q}{r^2}\right)^2 \quad\text{ou}\quad u(r)=\tfrac{1}{2}\varepsilon_0 k^2\frac{q^2}{r^4},
onde k=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0} é a constante eletrostática.

Passo 5

Agora o comportamento quando r\to0. A expressão obtida é
u(r)=\frac{q^2}{32\pi^2\varepsilon_0}\,r^{-4}.
Como r^{-4} diverge para +\infty quando r\to0^+, concluímos que
\lim_{r\to0}u(r)=+\infty.
Interpretação física curta (pra não assustar): isso significa que, no modelo clássico da carga pontual, a densidade de energia do campo fica arbitrariamente grande perto da carga — é a famosa divergência do campo no ponto da carga. Em teoria real (física quântica / modelos estendidos de carga) esse problema é tratado de outras formas, mas no eletromagnetismo clássico a densidade diverge.

Resposta

u(r)=\frac{q^2}{32\pi^2\varepsilon_0}\,\frac{1}{r^4}\quad\text{(para a carga \(q\)); no caso do elétron }u(r)=\frac{e^2}{32\pi^2\varepsilon_0}\,\frac{1}{r^4}.é
\lim_{r\to0}u(r)=+\infty

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