Considere um elétron estacionário como uma carga pontual e determine a densidade de energia u do campo elétrico criado pela partícula a 1,00 nm de distância

Passo 1

O enunciado pede para calcular a densidade de energia u do campo elétrico criado por um elétron tratado como carga pontual, no ponto que está a 1,00\\ \text{nm} da carga.
Informações dadas:
  • A carga é a do elétron com magnitude \,e=1,602176634\times10^{-19}\\ \text{C}\,.
  • A distância ao ponto onde se quer u é 1,00\\ \text{nm}.
O que se pede: determinar o valor numérico de u (em unidades de energia por volume, por exemplo \text{J/m}^3) a 1,00\\ \text{nm} da carga.

Passo 2

Fórmula do campo elétrico criado por uma carga pontual (magnitude do campo):
E(r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{q}{r^{2}}.
Aqui:
  • E(r) é a intensidade do campo elétrico no ponto a distância r da carga;
  • q é a magnitude da carga (no caso |q|=e);
  • \varepsilon_0 é a permissividade do vácuo;
  • r é a distância ao ponto considerado.
Explicando devagar: o campo de uma carga pontual decai com o quadrado da distância ( 1/r^2) e a constante multiplicativa é 1/(4\pi\varepsilon_0). Não importa o sinal da carga para a magnitude do campo — aqui usamos a magnitude e.

Passo 3

Fórmula da densidade de energia do campo elétrico (energia por unidade de volume):
u=\tfrac{1}{2}\,\varepsilon_0\,E^{2}.
Aqui:
  • u é a densidade de energia elétrica (em \text{J/m}^3);
  • \varepsilon_0 é a permissividade do vácuo;
  • E é a magnitude do campo elétrico naquele ponto.
Intuição: o campo armazena energia; quanto maior E, maior a energia por volume, e a relação é quadrática em E.

Passo 4

Converter a distância para o SI:
r = 1,00\\ \text{nm} = 1,00\times10^{-9}\\ \text{m}.

Passo 5

Valores das constantes que vamos usar (em SI):
e = 1,602176634\times10^{-19}\\ \text{C}, \qquad \varepsilon_0 = 8,8541878128\times10^{-12}\\ \text{F/m}.
Também é útil a constante de Coulomb
\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}=8,9875517923\times10^{9}\\ \text{N·m}^{2}\text{/C}^{2}.

Passo 6

Calcular o campo E em r=1,00\times10^{-9}\\ \text{m}. Usando a fórmula do passo 2:
E=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{e}{r^{2}}.
Substituindo números:
E=(8,9875517923\times10^{9})\cdot\frac{1,602176634\times10^{-19}}{(1,00\times10^{-9})^{2}}.
Calcule o denominador e a potência de 10 separadamente:
(1,00\times10^{-9})^{2}=1,00\times10^{-18}.
Portanto
E=(8,9875517923\times10^{9})\cdot(1,602176634\times10^{-19})\cdot(1,00\times10^{18}).
Agrupando potências de 10:
E=(8,9875517923\times10^{9})\cdot(1,602176634\times10^{-1}).
Fazendo a multiplicação numérica:
E\approx 1,43996\times10^{9}\\ \text{V/m}.
(Arredondei para cinco algarismos significativos durante o cálculo; para propósitos práticos podemos usar E\approx1,44\times10^{9}\\ \text{V/m}.)

Passo 7

Calcular a densidade de energia u usando u=\tfrac{1}{2}\varepsilon_0 E^{2}. Primeiro E^{2}:
E^{2}\approx(1,43996\times10^{9})^{2}\approx 2,07352\times10^{18}\\ \text{(V}^2\!/\text{m}^2).
Agora multiplica por \varepsilon_0 e por 1/2:
u=\tfrac{1}{2}\cdot(8,8541878128\times10^{-12})\cdot(2,07352\times10^{18}).
Calcule as potências de 10:
8,8541878128\times10^{-12}\cdot2,07352\times10^{18} \approx 1,83593\times10^{7}.
Agora o fator 1/2:
u\approx \tfrac{1}{2}\cdot 1,83593\times10^{7}\approx 9,17965\times10^{6}\\ \text{J/m}^{3}.
Arredondando de forma razoável (duas ou três algarismos significativos) obtemos:
u\approx 9,18\times10^{6}\\ \text{J/m}^{3}.

Passo 8

Verificação rápida de ordem de grandeza (pra nos confortar): é uma densidade de energia bem alta comparada à energia comum por volume na vida cotidiana, mas faz sentido porque muito próximo de uma carga pontual o campo é extremamente intenso.

Resposta

u \approx 9,18\times10^{6}\\ \text{J/m}^{3}

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